Question

O Teorema de Green pode ser entendido como a contrapartida do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais duplas. Considere C uma fronteira semianular contida no semiplano superior entre os círculos x2 + y2=1 e x2+y2 = 4. Desse modo, o valor da integral contour integral c space y squared space d x space plus 3 x y space d y é dado por

Answer 1

✅ Pelo teorema de Green pode-se afirmar que a integral de linha sobre o bordo do domínio é I = 14/3

 

☁️ Teorema de Green: Seja $\rm \vec{F}\!\!:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}^2 \longrightarrow\mathbb{R}^2$ um campo de vetores de classe $\mathcal{C}^1$ com $\mathbb{D}$ simplesmente conexo cujo bordo $\rm \partial\mathbb{D}$ é uma curva fechada $\rm \gamma = \gamma(t)$ simples, regular por partes e orientada positivamente, então

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \oint\limits_{\partial\mathbb{D}} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint\limits_{\mathbb{D}} \vec{\nabla}\times\vec{F}\,dA \qquad}}}$

ℹ️ O teorema de Green é o teorema de Stokes no plano que é o teorema fundamental do cálculo em sua forma geral, pois há uma relação entre a integral de uma derivada e a primitiva avaliada no bordo do domínio.

 

✍️ Solução: Seja $\rm \vec F(x,y) = (y^2,\,3xy)$. Primeiro note que a reunião das curvas dadas não é fechada, logo não podemos aplicar o teorema de Green. Entretanto é um problema simples de resolver, basta fechar a curva. Então, observe o conjunto de curvas e acompanhe no anexo.

$\large\begin{array}{lr}\rm \alpha_1 = \left( 2\cos(t),2\sin(t) \right) ~~0\leqslant t \leqslant \pi \\\\\rm \alpha_2 = \left( t,0 \right)~~-2\leqslant t \leqslant -1 \\\\\rm \alpha_3 = \left( \cos(t),\sin(t) \right) ~~0\leqslant t \leqslant \pi \\\\\rm \alpha_4 = \left( t,0 \right)~~1\leqslant t \leqslant 2 \\\\\rm \partial\mathbb{D} = \gamma = \left( \alpha_1\cup\alpha_2\cup(-\alpha_3)\cup\alpha_4 \right) \end{array}$

 

❐ A apresentação das curvas foi meramente ilustrativa, porém veja que a orientação é a mesma do teo. de Green. Para prosseguirmos é necessário o cálculo do campo rotacional

$\large\begin{array}{lr}\rm \vec F:= \vec{F}(x,y) = P(x,y)\hat{x} +Q(x,y)\hat{y} + 0\hat{z} \\\\\rm \vec{\nabla}\times\vec{F} = \begin{vmatrix}\rm \hat{x}&\rm \hat{y}&\rm\hat{z} \\\rm \dfrac{\partial}{\partial x}&\rm \dfrac{\partial}{\partial y}&\rm\dfrac{\partial}{\partial z} \\\rm P &\rm Q &\rm R \end{vmatrix} \\\\\rm \vec{\nabla}\times\vec{F} = \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)\hat{z} \end{array}$

 

❐ Veja a seguir que o campo não é conservativo

$\large\begin{array}{lr}\rm \vec{\nabla}\times\vec{F} = \left( \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy) - \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2) \right)\hat{z} = (3y - 2y)\hat{z} = y\hat{z} \end{array}$

 

❐ Pelo teorema de Green

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \oint\limits_{\gamma} \vec F\cdot d\vec r = \iint\limits_{\mathbb{D}} y\,dA \end{array}$

 

❐ O domínio da curva e por conseguinte da integral dupla é uma semi coroa circular e isso gera um problema por ser um domínio curvo. Isso induz que façamos uma mudança de variável para que o integrando fique simples. A mudança coerente é para coordenadas polares

$\large\begin{array}{lr}\rm \begin{cases}\rm x = r\cos(\phi)\\\rm y=r\sin(\phi)\\\rm \Vert Jac\varphi\Vert = r \end{cases} \quad\begin{array}{lr}\rm 0\leqslant\phi\leqslant \pi \\\rm 1\leqslant r\leqslant 2\end{array}\end{array}$

 

❐ Logo, pelo teorema de Fubini

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \oint\limits_{\gamma} \vec F\cdot d\vec r &=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{1}^{2} r\sin(\phi)r\,drd\phi \\\\&=\displaystyle\rm \left.\dfrac{r^3}{3}\right|_{1}^{2} \cdot \int\limits_{0}^{\pi}\sin(\phi)\,d\phi \\\\&=\rm \left[\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}\right] \cdot [-\cos(\phi)] \bigg|_{0}^{\pi} \\\\&=\rm \dfrac{7}{3}\cdot [-\cos(\pi)-(-\cos(0))] \\\\&=\rm \dfrac{7}{3}\cdot [-(-1)-(-1)] \\\\&=\rm \dfrac{7}{3} \cdot 2 \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \oint\limits_{\gamma} \vec F\cdot d\vec r =\dfrac{14}{3} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

 

✔️ Resolvido!

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo vetorial, análise vetorial clássica:

• brainly.com.br/tarefa/6914615

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$