Question

O teodolito é um instrumento portátil utilizado para medir ângulos e calcular distâncias. Para calcular a altura de uma torre vertical situada em terreno horizontal, um engenheiro realizou, utilizando um teodolito, as as seguintes medições:

I) De um ponto B, ele avista o ponto A (mais alto da torre) sob um ângulo de 45º com o plano horizontal.

II) De um ponto C, ele avista o ponto A sob um ângulo de 30º com o plano horizontal.

A figura mostra os pontos de medições que o engenheiro obteve ao utilizar o teodolito.

Sabe-se que a distância entre os pontos B e C é igual a 40 metros e que o teodolito estava a uma altura de 1,7 m do solo em ambas as medições.

Qual é a altura aproximada, em metros, dessa torre que foi calculada pelo engenheiro?

A) 18,0 m

B) 18,3 m

C) 19,7 m

D) 20,0 m

E) 21,7 m

Answer 1

A altura da torre é 21,7 m.

Alternativa E.

No triângulo ABV é isósceles, os lados AV e BV são iguais, visto que é um triângulo retângulo e um dos ângulos mede 45°. Logo:

x = h

No triângulo AVB, por Pitágoras, temos:

x² + y² = 40²

x² + y² = 1600

No triângulo ACV, temos:

tangente 30° =  cateto oposto  

                         cateto adjacente

√3 = h

3       y

√3y = 3h

y = 3h

     √3

y = 3√3h

        3

y = √3h

Substituindo, temos:

x² + y² = 1600

h² + (√3h)² = 1600

h² + 3h² = 1600

4h² = 1600

h² = 1600

         4

h² = 400

h = √400

h = 20

Somando a altura do teodolito, temos:

20 + 1,7 = 21,7 m