Question

O site da Wikipédia sobre cafeína. Informa que uma xícara de café contém cerca de 100mg de cafeína, cuja meia-vida no corpo humano é de aproximadamente, 3 a 7 horas. Supondo que a cada 4 horas depois de ingerido o café, a concentração de cafeína no sangue caia pela metade, podemos modelar está situação pela função de decaimento exponencial: Q(t)=100.(0,84)^t, onde Q(t) é a concentração da cafeína no sangue após t horas do consumo. Segundo a situação descrita acima, uma pessoa que ingeriu uma xícara de café às 7 horas da manhã ainda terá uma concentração de 16mg de cafeína no sangue aproximadamente as?

Dados:
㏒ 0,84= -0,076
㏒ 0,16= -0,79
㏒ 4= 0,6
㏒ 16= 1,6

a) 21 horas
b) 19 horas
c) 17 horas
d) 10 horas
e) 8 horas

Answer 1

 ele terá no 16mg de cafeína no sangue após as 17 horas.

Uma xícara de café contem 100 mg de cafeína.

A função que descreve a quantidade de cafeína presente no organismo após t horas será $Q(t)=100.(0,84)^t$.

Se jogarmos em uma calculadora esta função com t=4, poderemos confirmar que a meia vida será 4  horas (após 4 horas, apenas metade da cafeína fica presente no corpo)

Uma pessoa que tomou uma xícara de café às 7 horas da manhã terá 100mg de café no seu corpo e a concentração diminuirá segundo a equação  $Q(t)=100.(0,84)^t$.

Após um dado número de horas, A concentração será de 16mg.

Ou seja, queremos encontrar  $Q(t)=16mg=100.(0,84)^t$.

Primeiro iremos simplificar a expressão com a intenção de isolar $(0,84)^t$

$Q(t)=16mg=100.(0,84)^t$.

$16mg=100.(0,84)^t$.

$\dfrac{16mg}{100}=(0,84)^t$.

agora que temos este termo isolado, nos resta aplicar o logarítmo nos dois lados da equação:

$Log_{10}\dfrac{16mg}{100}=Log_{10}(0,84)^t$

Primeiro aplicamos a propriedade do logaritmo da divisão

$Log_{10}16mg-Log_{10}100=Log_{10}(0,84)^t$

depois aplicamos a propriedade do logaritmo da potencia

$Log_{10}16mg-Log_{10}100=t*Log_{10}(0,84)$

As medidas de logaritmo na base 10  dadas na tabela não estão todas corretas.

Segue abaixo os logarítmos corrigidos:

Log 0,84= -0,076

Log 0,16= -0,79

Log 4= 0,6

Log 16= 1,2

Retornando aos calculos, teremos:

$Log_{10}16mg-Log_{10}100=t*Log_{10}(0,84)$

Substituindo os valores dos logaritmos teremos uma equação que envolve constantes

$Log_{10}16mg-Log_{10}100=t*Log_{10}(0,84)$

$1,2-2=t*(-0,076)$

$-0,8=t*(-0,076)$

$t=\dfrac{0,8}{0,076}=\dfrac{800}{76}=\dfrac{200}{19}$

logo t é igual a 10,52 que é quase igual a 10.

Como ela tomou a xícara de café às 7 horas da manhã,  ele terá no 16mg de cafeína no sangue após as 17 horas.

Answer 2

Resposta:

C - 17 horas

Explicação passo-a-passo:

O resultado da divisão final dos calculos deve ser contados a partir das 7 horas, chegando a 16mg as 17 horas