Question

o sistema linear
{2x+3y+4z=9
x-y+2z=2
x+4y+2z=7
é:
a) sistema possível e determinado;
b) sistema possível e indeterminado;
c) sistema impossível
d)n.d.a

Answer 1

Primeiro vamos calcular o determinante da matriz incompleta do sistema.

$\det \left[\begin{array}{ccc}2&3&4\\1&-1&2\\1&4&2\end{array}\right] =2*[(-2)-(8)]+3*[(2)-(2)]+4*[(4)-(-1)]\\\\=2*[-2-8]+3*[2-2]+4*[4+1]=2*[-10]+3*[0]+4*[5]=\\\\=-20+0+20=0$

Como o determinante da matriz incompleta é igual a zero, podemos concluir que o sistema não é SPD. Agora precisamos calcular o determinante das matrizes Dx, Dy e Dz.

det Dx:
$\det \left[\begin{array}{ccc}9&3&4\\2&-1&2\\7&4&2\end{array}\right] =9*[(-2)-(8)]+3*[(14)-(4)]+4*[(8)-(-7)]\\\\=9*[-2-8]+3*[14-4]+4*[8+7]=9*[-10]+3*[10]+4*[15]\\\\=-90+30+60=0$

det Dy:
$\det \left[\begin{array}{ccc}2&9&4\\1&2&2\\1&7&2\end{array}\right] =2*[(4)-(14)]+9*[(2)-(2)]+4*[(7)-(2)]\\\\=2*[4-14]+9*[2-2]+4*[7-2]=2*[-10]+9*[0]+4*[5]=\\\\=-20+0+20=0$

det Dz:
$\det \left[\begin{array}{ccc}2&3&9\\1&-1&2\\1&4&7\end{array}\right] =2*[(-7)-(8)]+3*[(2)-(7)]+9*[(4)-(-1)]\\\\=2*[-7-8]+3*[2-7]+9*[4+1]=2*[-15]+3*[-5]+9*[5]=\\\\=-30-15+45=0$

Como os valores das determinantes das matrizes Dx, Dy e Dz são zero. Concluímos que o sistema é SDI.