Question

O sinal amarelo num cruzamento fica ligado durante 3 s. A largura do cruzamento é de 15 m. A aceleração máxima de um carro que se encontra a 30 m do cruzamento quando o sinal muda para amarelo é de 3 m/s², e ele pode ser freado a 5 m/s². Que velocidade mínima o carro precisa ter na mudança do sinal para amarelo a fim de que possa atravessar no amarelo? Qual é a velocidade máxima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento?
Considere duas situações nas resoluções acima: na primeira, o motorista avista a mudança de sinal e começa a frenagem instantaneamente; na segunda, o motorista leva um tempo de reação de 0,7 s até acionar os freios.

Answer 1

Resposta:

Consideremos inicialmente a primeira situação, i.e., aquela na qual o tempo de reação do motorista não é considerado.

Analisemos o primeiro caso: Para que o motorista consiga atravessar o semáforo, ele deve percorrer 45 metros (30 metros até o cruzamento mais 15 metros do cruzamento) num intervalo de 3 segundos, estando em M.R.U.V., à aceleração constante de 3 m/s².

Calculemos a velocidade mínima necessária para que ele consiga fazê-lo:

$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow 45 = 0 + v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3^2\\\\\Longleftrightarrow 3v_0 = 45 - \frac{27}{2} \\\\\Longleftrightarrow 3v_0 = \frac{63}{2}\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{63}{6}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v_0 = 10,5\,\,m/s = 37,8\,\,km/h.}$

Analisemos agora o segundo caso: Para que o motorista consiga parar antes do semáforo, ele deve percorrer 30 metros num intervalo de 3 segundos, estando em M.R.U.V., à aceleração constante de -5 m/s².

Calculemos a velocidade máxima que ainda lhe permita fazê-lo:

$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow 30 = 0 + v_0\cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot (-5)\cdot 3^2\\\\\Longleftrightarrow 30 = 3v_0 - \frac{45}{2}\\\\ \Longleftrightarrow 3v_0 = \frac{105}{2}\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{105}{6}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v_0 = 17,5\,\,m/s = 63,0\,\,km/h.}$

*****

Consideremos agora segunda situação, i.e., aquela na qual o tempo de reação do motorista é considerado.

Analisemos o primeiro caso, no qual o motorista deseja atravessar o semáforo.

Seja $x_1$ a posição do veículo após o tempo de reação do motorista. Calculemo-lo:

$x_1 = x_0 + v_0t\\\\\Longleftrightarrow x_1 = 0 + v_0\cdot 0,7\\\\\Longleftrightarrow x_1 = 0,7v_0$

Após o tempo de reação, o motorista passa a acelerar o veículo a 3 m/s². Ele terá 2,3 segundos (3,0 segundos iniciais menos 0,7 de reação) para percorrer a distância que falta dos 45 metros, partindo agora de $x_1.$

Assim:

$x = x_1 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow 45 = 0,7v_0 + 2,3v_0 + \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2,3^2\\\\\Longleftrightarrow 3,0\cdot v_0 = 37,07\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v_0 = 12,4\,\,m/s = 44,5\,\,km/h.}$

Analisemos, por fim, o segundo caso, no qual o motorista deseja parar antes de atingir o semáforo.

Sua posição $x_1$, após o tempo de reação, é a mesma do caso anterior, isto é:

$x_1 = 0,7v_0$

Após o tempo de reação, o motorista passa a desacelerar o veículo a 5 m/s². Ele terá 2,3 segundos para percorrer a distância que falta dos 30 metros, partindo de $x_1$.

Assim:

$x = x_1 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow 30 = 0,7v_0 + 2,3v_0 + \frac{1}{2} \cdot(-5)\cdot 2,3^2\\\\\Longleftrightarrow 3,0v_0 = 43,23\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{43,23}{3,0}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{v_0 = 14,4\,\,m/s = 51,9\,\,km/h.}$