Question

O sexto termo do desenvolvimento de (x^2 + 1/x^3 ) elevado a 10 é ?

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\sf \left(x {}^{2} + \frac{1}{x {}^{3} } \right) {}^{10}$

A questão quer saber o sexto termo do desenvolvimento desse binômio, para que não tenhamos que resolvê-lo totalmente, usaremos o Termo geral do binômio, dado por:

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p} a^{n-p}.b^{p}$

Nessa fórmula temos que:

• "a" e "b" representam o primeiro e o segundo termo do binômio, respectivamente;

• "n" representa o expoente;

• "p" representa a posição, ele é calculado através da relação (p + 1 = y), onde "y" é o termo que queremos descobrir, no nosso caso é o sexto então o "y" seria 6.

• Substituindo os dados na fórmula:

$\sf \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} (x {}^{2} )^{10-p}.\left( \frac{1}{x {}^{3} } \right)^{p}$

Agora teremos que "resolver" essa expressão, para que tenhamos apenas "x" em um único termo:

$\sf \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} (x )^{2(10-p)}.\left( \frac{1 {}^{p} }{(x {}^{3}) {}^{p} } \right) \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} (x)^{20-2p}. \left( \frac{1 }{x {}^{3p} } \right) \\ \sf \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} \frac{x {}^{20 - 2p} }{x {}^{3p} } \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} .x {}^{20 - 2p - 3p} \\ \\ \sf \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} x {}^{20 - 5p}$

Não era necessário fazer isso que eu fiz, bastava você substituir o 6 na relação de "p" encontrá-lo e substituí-lo na fórmula, mas já que fiz isso agora vamos encontrar "p":

$\sf p + 1 = 6 \\ \sf p = 6 - 1 \\ \sf p = 5$

Substituindo o valor de "p":

$\sf \sf T_{5+1} = \binom{10}{5} x {}^{20 - 5.5} \\ \\ \sf T_{6} = \binom{10}{5} x {}^{20 - 25} \\ \\ \sf\sf T_{ 6} = \frac{10!}{5!(10-5)!}x {}^{ - 5} \\ \\ \sf \sf\sf T_{ 6} = \frac{10!}{5!5!}. \frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \sf \sf\sf T_{ 6} = \frac{10.9.8.7.6. \cancel5!}{5 ! \cancel5!}. \frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \sf \sf \sf\sf T_{ 6} = \frac{10.9.8.7.6}{5.4.3.2.1}. \frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \sf T_{ 6} = \frac{30240}{120} . \frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \boxed{ \sf T_{ 6} = \frac{252}{x {}^{5} } }$

Espero ter ajudado