O sapinho da figura pula de
uma pedra para uma pedra vizinha, dando voltas
em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas
vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele
vai parar na pedra C.
a) Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2018 vezes e sem-
pre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?
b) Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre
muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual
pedra ele vai parar?
Soluções para a tarefa
a) Vamos ver onde o sapo vai parar depois de 8 pulos: A - B - C - D - E - F - G - H - I
Portanto ele pula ateh o I e muda de direcao e vamos ver ateh onde ele pula:
I - H - G - F - E - D - C - B - A
Portanto podemos concluir que ele pula 8 ateh o I, muda de direcao e pula 8 ateh o A repetidamente.
Vemos tb que pra pular ateh o I ele da 8 pulos, depois 24 pulos e assim vai, e pra pular ateh o A ele da 16 pulos, depois 32 e assim vai. A conclusao eh que sempre que ele pula numero impar * 8 ele vai parar no I e toda vez que ele pula numero par vezes 8 ele vai parar no A.
Agora vamos achar o multiplo de 8 mais proximo de 2018: 2016.
2016÷8=252
Logo vemos que no pulo 2016 ele foi parar no A, ele deu dois pulos dps e acabou no C.
b) O padrao aqui eh um pouco mais dificil de notar, mas se formos ver o ponto de virada dos pulos (que anteriormente seguia AIAIAIAI...) veremos que ele segue o seguinte padrao: IEIAIEIAIEIAIE... com A e E se revesando entre I's. Podemos notar tb que o I aparece em todo multiplo de 8 que nao eh multiplo de 12, A aparece em todo multiplo de 12 com um numero par e E aparece com todo numero impar. Agora vamos achar o multiplo de 12 mais proximo de 810: 804
804÷12=67
Logo no pulo 804 ele esta no E indo em direcao ao I, chega no I no pulo 808 vira e da dois pulos e acaba no G
a) Observe que a sequência de pulos do sapinho tem 9 elementos como motivo de repetição (A, B, C, D, E, F, G, H, I). Assim, partindo pela pedra A o sapinho chega novamente nessa pedra após 9 pulos. Ao continuar no sentido horário, o sapinho dará mais 6 pulos para obter o total de 15, ficando ao final na pedra G.
b) Observe que o sapinho dará 8 pulos, chegando na pedra I, e retornará a pedra A dando mais 8 pulos. Desta forma, teremos a sequência A, B, C, D, E, F, G, H, I, H, G, F, E, D, C, B, A, B, C, ...; e a cada 16 pulos o sapinho volta para pedra A (em oito pulos ele chega na pedra I e voltando 8 pulos ele chega na pedra A).
Sabemos que 2018 ÷ 16 = 126 com resto igual a 2. Portanto no 2016º pulo o sapinho estará na pedra A e após dois pulos (2018º pulo) o sapinho estará na pedra C.
c) De maneira análoga ao item anterior, sabemos que o sapinho dará 8 pulos e chegará na pedra I, agora ele irá mudar a direção e dará mais 4 pulos, chegando (8 + 4 = 12 pulos) chegando na pedra E, onde irá mudar a direção novamente dando mais 4 pulos (12 + 4 = 16 pulos) chegando na pedra I, novamente irá mudar a direção dando mais 8 pulos (16 + 8 = 24 pulos) retornando para pedra A. Desta forma, podemos concluir que a cada 24 pulos o sapinho retorna para pedra A.
Como 810 ÷ 24 = 33 com resto 18, sabemos que após 24 ∙ 33 = 792 pulos o sapinho estará na pedra A e deverá pular ainda mais 18 vezes. Assim, se 18 = 8 + 4 + 4 + 2, então após 8 pulos o sapinho estará na pedra I, depois, mudando de direção, após 4 pulos estará na pedra E, em mais quatro pulos retorna para pedra I, e finalmente, com mais dois pulos volta para pedra G.