Question

O.S.O
Fernando, obtém R$40.000,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma nota promissória de R$80.000,00, com vencimento para 12 meses. determine as taxas mensal e anual de juros cobrados pelo agiota?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Eduarda, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Fernando obtém R$ 40.000,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma nota promissória de R$ 80.000,00, com vencimento para 12 meses. Determine as taxas mensal e anual de juros cobrado por esse agiota.

ii) Veja: vamos primeiro encontrar a taxa mensal pela fórmula de montante em juros compostos.Depois encontraremos a taxa anual equivalente à taxa mensal que encontrarmos, ok?
Então veja que montante, em juros compostos, é dado por:

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante (é o total a pagar após os 12 meses), "C" é o capital (é o valor do capital emprestado), "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula acima:

M = 80.000 --- (é o valor da nota promissória)
C = 40.000 ---- (é o valor do capital que ele tomou emprestado)
i = i% ao mês ---- (é o que vamos encontrar)
n = 12 ---- (veja que o prazo do empréstimo foi de 12 meses).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

80.000 = 40.000*(1+i)¹² --- vamos apenas inverter, ficando:
40.000*(1+i)¹² = 80.000 ---- isolando (1+i)¹², teremos:
(1+i)¹² = 80.000/40.000
(1+i)¹² = 2 ---- agora vamos  isolar (1+i)
1+i = ¹²√(2) ----- note que ¹²√(2) = 1,05946 (bem aproximado). Logo:
1+i = 1,05946 ---- passando "1" para o 2º membro, temos;
i = 1,05946 - 1
i = 0,05946 ou 5,946% ao mês <--- Esta é a taxa mensal.

iii) Agora vamos encontrar a taxa anual, que é equivalente a uma taxa mensal de 5,946% (ou 0,05946). Para isso, fazemos assim:

1 + I = (1+i)ⁿ

Na fórmula acima, "I" é a taxa de juros relativa ao maior período, "i" é a taxa de juros referente ao menor período e "n" é o tempo.
Então se já conhecemos a taxa mensal (que é a taxa do menor período) e queremos a taxa anual (que é a taxa do maior período), então fazemos assim:

1 + I = (1+0,05946)¹² ----- (veja que um ano tem 12 meses)
1 + I = (1,05946)¹² ----- note que (1,05946)¹² = 2 (bem, mas bem aproximado mesmo). Assim, ficaremos:

1 + I = 2 ---- passando "1" para o 2º membro, temos:
I = 2 - 1
I = 1 ou 100% <--- Esta é a taxa anual.

iv) Assim, resumindo, temos que a taxa mensal e anual serão, respectivamente:

5,946% ao mês e 100% ao ano <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.