Question

O RETÂNGULO PENA, REPRESENTADO NO PLANO CARTESIANO TEM VÉRTICES COM AS SEGUINTES COORDENADAS:P(5,0) E(5,6) N(1,6), A(1,0).
QUAIS SÃO AS COORDENADAS DO PONTO B, INTERSECÇÃO ENTRE AS DIAGONAIS DO RETÂNGULO PENA?

Answer 1

Temos os seguintes pontos:

$P(5,0) \: E(5,6) \: N(1,6) \: \: e \: \: A(1,0).$

A questão quer saber qual a coordenada do ponto B, sendo ele a interseção das retas AE e NP, ou seja, para prosseguirmos com o cálculo, é necessário encontrar as retas AE e NP.

• Coeficiente angular das retas:

Como nós sabemos, o coeficiente angular pode ser calculado através da divisão da variação das abscissas pela variação das ordenadas, então:

$m_{AE} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \: \: e \: \: m_{NP} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ m_{AE} = \frac{ 0 - 6}{1 - 5} \: \: e \: \: m_{NP} = \frac{6- 0}{1 - 5} \\ \\ m_{AE} = \frac{3}{2} \: \: e \: \:m_{NP} = - \frac{3}{2}$

• Equação da reta:

Para montar as equações basta escolher um dos pontos de cada reta e o coeficiente angular e substituir na equação fundamental da reta:

$AE : \: y - y_ 0 = m.(x - x_ 0) \\ NP : y - y_ 0 = m.(x - x_ 0) \\ \\ AE : \: y - 0 = \frac{3}{2} .(x - 1) \\ NP : y - 0= - \frac{3}{2} .(x - 5) \\ \\ AE : y = \frac{3x}{2} - \frac{3}{2} \\ NP : y = - \frac{3x}{2} - \frac{15}{2} \\ \\ AE : \: 3x - 2y - 3 = 0 \\ NP : 3x + 2y - 15 = 0$

Agora é só encontrar a interseção entre essas duas retas, ou seja, resolver um sistema:

$\begin{cases}3x - 2y = 3 \\ 3x + 2y = 15 \end{cases}$

Pelo método da adição podemos cancelar aqueles dois termos em "y":

$3x + 3x = 3 + 15 \\ 6x = 18 \\ x = \frac{18}{6} \\ x = 3$

Agora é só substituir o valor de "x" em uma das duas equações e encontrar "y":

$3x + 2y = 15 \\ 3.( 3) + 2y = 15 \\ 9 + 2y = 15 \\ 2y = 15 -9 \\ 2y = 6 \\ y = \frac{6}{2} \\y=3$

Portanto o ponto de interseção é:

$\boxed{B \left( 3 , 3 \right)}$

Espero ter ajudado