Question

o resultado de log^2 x - log x^2 = 0 é:

a) -1
b) 1
c) 20
d) 100
e) 101

Answer 1

Olá!

Queremos resolver a seguinte equação logarítmica:

${ log }^{2} x - log {x}^{2} = 0$

Sabemos que, em uma mesma base, o lagaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base, ou seja,

$log_{a}{b}^{c} = c \cdot log_{a}b$

Assim, segue:

${ log}^{2} x - log{x}^{2} = 0 \implies \\ \implies log^{2}x - 2 log x = 0$

Condição de existência:

$x > 0$

Fazendo $log x = y,$ temos:

${y}^{2} - 2y = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau, vem:

${y}^{2} - 2y = 0 \implies \\ \implies y(y - 2) = 0 \implies \\ \implies y = 0 \: \textrm{ou} \: y = 2$

Como $log x = y,$ então:

$logx = 0 \implies \: x = {10}^{0} \implies \: \fbox{ x = 1}$

e

$logx = 2 \: \implies \: x = {10}^{2} \implies \: \fbox{x = 100}$

Verificação: 1 > 0 e 100 > 0.

S = {1, 100}