o resultado da produção mensal p (lucro ou prejuízo) de uma empresa, em mil reais, pode ser determinado em função do número n de peças produzidas, utilizando a fórmula p= -n²+30n-200. quanto a fábrica deverá produzir no mês, para obter um lucro de 25 mil reais?
Soluções para a tarefa
Resposta:
15 peças
Nota : Para ter um lucro de 25 mil reais a fábrica deverá produzir, por mês, 15 peças. Sendo este o número de peças que torna máximo o lucro ( "Profit " em Inglês ) mensal desta empresa.
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
O resultado da produção mensal P (lucro ou prejuízo) de uma empresa, em mil reais, pode ser determinado em função do número n de peças produzidas, utilizando a fórmula P = - n²+ 30 n - 200. quanto a fábrica deverá produzir no mês, para obter um lucro de 25 mil reais?
Resolução
Quanto a este problema a sua resolução virá de igualarmos a função P à quantia de 25 milhares de reais.
Nota : como P está definido em " milhares" de reais, não se pode igualar a função a 25 000 mas a 25 !
25 = - n²+ 30 n-200
⇔
passando 25 para o outro membro, trocando o sinal ;
em seguida trocar os membros da equação de modo a que fique da maneira a que estamos " mais habituados " a resolver funções do 2º grau.
⇔
- n²+30 n - 200 -25 = 0
⇔
- n²+30 n -225 = 0
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Repare bem que na função inicial , P = - n²+ 30 n-200 o 2º membro é , nada mais nada menos , que a expressão que em termos de gráfico se representa por uma parábola.
Repare também que o coeficiente de termo " n² " é " - 1 ", que significa que a parábola tem a forma de um U invertido, concavidade virada para baixo e que tem um máximo na ordenada do vértice.
Muito provavelmente vamos determinar o nº de peças necessárias a produzir para se atingir um lucro máximo.
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Resolvendo:
- n²+30 n -225 = 0
a = - 1
b = 30
c = - 225
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 900 - 4 * ( - 1 ) * ( - 225 )
Δ = 900 - 900 = 0
Δ = 0 ⇒ que a equação ( função ) tem apenas uma raiz ( que se diz de dupla)
x' = x'' = ( - 30 + 0 ) / ( -2) = 15
Para ter um lucro de 25 mil reais a fábrica deverá produzir por mês 15 peças.
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Na sequência do que disse atrás vou calcular as coordenadas do vértice, através de fórmulas diretas , pegando na função P ( n ) = - n²+ 30 n-200
a = - 1
b = 30
c = - 200
Δ = 30² - 4 * ( - 1 ) * (- 200 ) = 900 - 800 = 100
Vx = (- b) / 2 a = (- 30) / ( -2 ) = 15
Vy = ( - Δ ) / 4a = (- 100 ) / ( 4 * ( - 1 ) ) = 25
As coordenadas do vértice são ( 15 ; 25 )
Confirma-se o que atrás "suspeitara ".
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Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a ( ⇒ ) implicar
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.