Question

O resultado da integral indefinida ∫ sec^3(x) dx é:

Answer 1

• O que é a integral indefinida?

A integral indefinida é o conjunto de primitivas infinitas que uma função pode ter. dx é diferencial de x, e indica qual é a variável da função que está integrada. C é a constante de integração e pode assumir qualquer valor numérico real.

Para encontrar a integral da secante cúbica usaremos a integração por partes que é representada como:

$\sf \large\displaystyle\sf \int u dv =uv-\int v du$

Mas antes de usar este método vamos simplificar a secante cúbica como:

$\sf \large\displaystyle\sf \int \underbrace{\sf \sec x}_{\sf u} \cdot \underbrace{\sf \sec^2 x dx}_{\sf dv}$

Tentamos encontrar o valor das outras constantes para encontrar o resultado da integral, os valores das constantes são os seguintes:

$\sf\large \displaystyle\sf du = \dfrac{d}{dx} \sec x \to du = \sec x\tan x dx$

$\sf \large\displaystyle\sf v = \int \sec ^2xdx \to v = \tan x$

As demais constantes são as básicas que a integral já possui desde o início, substituímos na expressão de integral por partes:

$\sf \large\displaystyle\sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \tan x \sec x \cdot \tan x dx$

$\sf\large\displaystyle \sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \sec x \cdot \tan^2 x dx$

Agora aplicamos uma identidade trigonométrica básica e é tan^2 x = sec^2 x - 1:

$\sf\large \displaystyle\sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \sec x \cdot ( \sec ^2 x- 1) dx$

$\sf\large\displaystyle \sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \left( \sec ^3 x- \sec x \right)dx$

Essa integral pode ser descrita como a soma de duas integrais, isso é mostrado por uma propriedade das integrais e também pela lei dos sinais:

$\sf \large\displaystyle\sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \sec ^3 x+ \int \sec x$

$\sf \large\displaystyle\sf \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x-\int \sec ^3 x+ \ln\left| \sec x + \tan x\right|$

Como não conhecemos a integral da secante cúbica, usamos algumas propriedades sobre a folga, por isso não a eliminei ou disse que a integral não tem solução:

$\large\displaystyle\sf \int \sec ^3 x+\int \sec^3 x =\sec x\cdot \tan x+ \ln\left| \sec x + \tan x\right|$

$\large\displaystyle\sf 2 \int \sec ^3 x =\sec x\cdot \tan x+ \ln\left| \sec x + \tan x\right|$

• Agora tentamos resolver a integral secante cúbica de x e adicionamos a constante de integração "C".

$\large\displaystyle \sf \int \sec ^3 x =\dfrac{\sec x\cdot \tan x+ \ln\left| \sec x + \tan x\right|}{2} +C$

$\boxed{\boxed{\large\displaystyle\sf \int \sec ^3 x =\dfrac{1}{2} \sec x\cdot \tan x+\dfrac{1}{2} \ln\left| \sec x + \tan x\right|+C}}$

• Problema relacionado:

Calcule uma integral indefinida por inspeção:

$\displaystyle \int (\sec ^ 3 x + \sec ^ 2 x- \sec x) e ^{\sec x} \, dx$ https://brainly.com.br/tarefa/ 12980774

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