Question

O resultado da integral

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int (sen {}^{2} x .cos {}^{2} x)dx$

Para resolver essa integral é necessário lembrar das regras de quando tem-se uma integral do tipo $\sf \int (sen {}^{n} x.cos {}^{m} x)dx$

, tais regras são:

$\sf m \: ou \: n \: \acute{i}mpar \to sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf m \: ou \: n \: par \to sen {}^{2} x = \frac{1 - cos(2x)}{2} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf ou \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf cos {}^{2} x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

No nosso caso temos esse segundo caso, ou seja, vamos ter que fazer essas substituições na integral. Fazendo isso temos que:

$\sf \int \left (\left( \frac{1 - cos(2x)}{2} \right). \left( \frac{1 + cos(2x)}{2} \right) \right)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int \left( \frac{(1 - cos(2x)).(1 + cos(2x))}{2.2} \right)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int \left (\frac{1.1 + 1.cos(2x) - 1.cos(2x) - cos(2x).cos(2x)}{4} \right)dx \\ \\ \sf \int \left( \frac{1 - cos {}^{2} (2x)}{4} \right)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int \frac{1}{4} . \left( 1 - cos {}^{2} (2x)\right)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} \int (1 - cos {}^{2} (2x))dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} . \int 1dx - \int cos {}^{2} (2x)dx\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só resolver aquelas integrais, a primeira é bem simples, mas a segunda requer atenção:

$\sf \frac{1}{4}. \left(x - \int cos {}^{2} (2x)dx \right)$

O cosseno (2x) pode ser reescrito como:

$\sf cos (2x) = sen {}^{2}x - cos {}^{2} x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf cos(2x) = (1 - cos {}^{2} x) - cos {}^{2} x \\ \sf cos(2x) = 1 - 2cos {}^{2} x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 2cos {}^{2} x = cos(2x )+ 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{1 + cos(2x)}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Ou seja, se dobrarmos o valor do cosseno ao quadrado de x, o valor do cosseno do outro lado da igualdade também será duplicado, então:

$\sf cos {}^{2} (2x ) = \frac{1 + cos(4x)}{2}$

Esse termo é justamente o que possuímos dentro da integral, então vamos fazer a substituição:

$\sf \frac{1}{4} \left( x - \int \frac{1 + cos(4x)}{2} dx\right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} \left( x - \int \frac{1}{2} .(1 + cos(4x) ) dx\right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} \left( x - \frac{1}{2}. \int(1 + cos(4x))dx\right ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} x - \frac{1}{8}. \int(1 + cos(4x))dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4}x - \frac{1}{8} . \left( \int 1dx + \int cos(4x)dx \right) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} x - \frac{1}{8} . \left(x + \frac{sen(4x)}{4} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{1}{4} x - \frac{1}{8} x - \frac{sen(4x)}{32} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\frac{8x - 4x}{32} - \frac{sen(4x)}{32} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \frac{1}{8} x - \frac{sen(4x)}{32} + k}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado