Question

O resultado da integral

Answer 1

$\int\limits^2_{-2} {3* \sqrt{3x+7} } \, dx$

utilizando o metodo da substituiçao
$u = 3x+7\\\\\ du =3.dx \\\\ \frac{du}{3} =dx$

substituindo na integral os valores de 3x+7 e dx temos

$\int\limits^2_{-2} {\not 3* \sqrt{u} } \, *\frac{du}{\not3} = \\\\= \int\limits^2_{-2} \sqrt{u} * du\\\\ \\= \int\limits^2_{-2} u^{ \frac{1}{2} }*du = \frac{u^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2}+1 }} = \frac{u^{ \frac{3}{2} }}{ \frac{3}{2} } = \frac{2* u^{\frac{3}{2}}}{3} = \boxed{\boxed{\frac{2* \sqrt{u^3} }{3}}}$

mas como vimos
u = 3x+7

$\boxed{\boxed{\frac{2* \sqrt{(3x+7)^3} }{3}}}$

calculando para os intervalos
para x = 2
$\frac{2* \sqrt{(3*2+7)^3} }{3}= \frac{2* \sqrt{13^3} }{3}$

substituindo x por -2
$\frac{2* \sqrt{(3*(-2) +7)^3} }{3} = \frac{2 \sqrt{1^3} }{3}= \frac{2}{3}$

somando
$\frac{2* \sqrt{13^3} }{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} *( \sqrt{13^3}-1) =\boxed{ \frac{2}{3}*(13 \sqrt{13} -1) }$

resposta
$\boxed{\boxed{\int\limits^2_{-2} {3* \sqrt{3x+7} } \, dx = \frac{2}{3}*(13 \sqrt{13} -1) }}$