O resultado da equação
log3 (2x + 1) – log3 (5x -3) = -1 é:
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Pedro, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o resultado da seguinte equação logarítmica:
log₃ (2x+1) - log₃ (5x-3) = - 1 .
ii) Antes de mais nada vamos logo encontrar as condições de existência dessa expressão logarítmica. Como sabemos que só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos (2x+1) e (5x-3) sejam positivos (>0). Assim, deveremos ter como condições de existência da expressão dada:
2x+1 > 0
2x > -1
x > -1/2 ------ Esta é uma condição de existência.
e
5x-3 > 0
5x > 3
x > 3/5 ------ Esta é outra condição de existência.
Agora note: entre "x" ser maior do que "-1/2" e maior do que "3/5", vai prevalecer a segunda hipótese, pois sendo "x" maior que "3/5" já o será maior que "-1/2". Assim, vai prevalecer a condição de:
x > 3/5 ----- Esta é a única condição de existência a ser observada.
iii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₃ (2x+1) - log₃ (5x-3) = - 1 ----- note que podemos transformar a subtração em divisão (é uma propriedade logarítmica). Assim teremos:
log₃ [(2x+1)/(5x-3)] = - 1 ------ aplicando a definição de logaritmo, veja que o que temos aqui é a mesma coisa que:
3⁻¹ = (2x+1)/(5x-3) ----- note que 3⁻¹ = 1/3¹ = 1/3. Assim, ficaremos com:
1/3 = (2x+1)/(5x-3) ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
1*(5x-3) = 3*(2x+1) ----- desenvolvendo, temos:
5x - 3 = 6x + 3 ----- passando "6x" para o 1º membro e "-3" para o 2º, teremos:
5x - 6x = 3 + 3
- x = 6 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
x = - 6 <----Veja que "-6" não atende à condição de existência que impusemos, que foi "x" ser maior do que "3/5". A propósitol note que se "x" pudesse ser igual a "-6", iríamos ter logaritmandos negativos e isso não existe no âmbito dos números reais. Logo, já poderemos afirmar que a equação da sua questão não tem resposta no campo dos números reais, pelo que a resposta será vazia, ou:
S = ∅ , ou S = { }. <---- Esta é a resposta. Note que os dois símbolos acima são utilizados quando você quer informar que a solução não atende às condições de existência, ou que não há solução no conjunto dos números reais.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.