Question

o resto da divisão do polinômio P(x)=x4+69 por x²+4x+8 é?

Answer 1

Utilizaremos os métodos de divisão comum entre números até que o grau do polinômio à direita(divisor) seja maior que o polinômio à esquerda(dividendo), mas feitos de passo a passo para melhor entendimento, logo:

x^4 +69  | x² + 4x + 8
  (resto)  | (quociente)

Para anularmos x^4 no dividendo devemos multiplicar o divisor por x² e subtrair do dividendo. O momento em que a subtração for feita na linha teremos um (S) logo ao lado para facilitar a visualisação, por limitação do LaTex. Logo:

x^4      +       69          | x² + 4x + 8
-(x^4 + 4x³ + 8x²) (S) | x² 
- 4x³ - 8x² + 69           | 

Como o grau do polinômio à esquerda ainda é maior que o grau do divisor da operação, continuaremos repetindo os passos. Agora para anular -4x³.

x^4      +       69          | x² + 4x + 8
-(x^4 + 4x³ + 8x²) (S) | x² - 4x
- 4x³ - 8x² + 69           | 
-(-4x³ - 16x² -32x) (S) |
8x² + 32x + 69            |

Como o grau do polinômio à esquerda ainda é maior que o grau do divisor da operação, continuaremos repetindo os passos. Agora anularemos 8x². Portanto:

x^4      +       69          | x² + 4x + 8
-(x^4 + 4x³ + 8x²) (S) | x² - 4x + 8
- 4x³ - 8x² + 69           | 
-(-4x³ - 16x² -32x) (S) |
8x² + 32x + 69            |
-(8x² + 32x +64)    (S) |
5

Logo, como o grau do polinômio à esquerda é menor que o divisor da operação, 5 é o resto da divisão e x² - 4x + 8 é o quociente da mesma.

A formatação dificultou bastante a visualisação e desenvolvimento da resposta, mas acredito ter sido suficientemente claro. Qualquer coisa deixe nos comentários. Até mais e bons estudos.