Question

O resto da divisão do número (3733)^2019 + (2019)^3733 por 6

Answer 1

Resposta:  O resto da divisão de (3733)²⁰¹⁹ + (2019)³⁷³³ por 6 é 4.

Explicação passo a passo:

Vamos analisar cada parcela da soma separadamente.

Efetuando a divisão euclidiana de 3733 por 6, temos

     $\begin{array}{l} 3733=622\cdot 6+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3733\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Obs.: A notação $a\equiv b\quad(\mathrm{mod~}m)$ pode ser interpretada como "$a$ deixa o mesmo resto que $b$ na divisão por $m$".

Elevando os dois lados da congruência a 2019, temos

     $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad (3733)^{2019}\equiv 1^{2019}\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3733)^{2019}\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}6)\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Logo, (3733)²⁰¹⁹ deixa resto 1 na divisão por 6.

Efetuando a divisão euclidiana de 2019 por 6, temos

     $\begin{array}{l}2019=336\cdot 6+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2019\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Elevando os dois lados da congruência a 3733, temos

     $\Longrightarrow\quad (2019)^{3733}\equiv 3^{3733}\quad(\mathrm{mod~}6)$

Toda potência natural de 3 deixa resto 3 na divisão por 6. Logo, em particular, temos

$\Longleftrightarrow\quad (2019)^{3733}\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}6)\qquad\mathrm{(ii)}$

Logo, (2019)³⁷³³ deixa resto 3 na divisão por 6.

Somando as congruências (i) e (ii), segue que

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad (3733)^{2019}+(2019)^{3733}\equiv 1+3\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3733)^{2019}+(2019)^{3733}\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Resposta: O resto é 4.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

O resto da divisão da expressão $3733^{2019}+2019^{3733}$ por 6 vale 4.

Congruência Modular

Para obter o resto da divisão de valores muito elevados podemos utilizar alguns conceitos relacionados a congruência modular.

$a\equiv b \ mod \ m$

"a" é congruente a "b" módulo "m", isto é, "a" deixa resto "b" na divisão por "m".

Tal congruência possui algumas propriedades:

• $P_1 : a\cdot c\equiv b\cdot c \ mod \ m$
• $P_2:a\pm c\equiv b\pm c \mod \ m$
• $P_3: a^c\equiv b^c \ mod \ m$
• $P_4: a\equiv b \ mod \ m \ e \ b\equiv c \ mod \ m\Rightarrow a\equiv c \ mod \ m$

Como 3733 deixa resto 1 na divisão por 6 temos:

$3733\equiv 1 \ mod \ 6\\\\3733^{2019}\equiv 1^{2019}\equiv 1 \ mod \ 6 \ \ (I)$

Por outro lado, 2019 deixa resto 3 na divisão por 6 logo,

$2019\equiv 3 \ mod \ 6\\\\2019^{3733}\equiv 3^{3733}\equiv 3 \ mod \ 6 \ \ (II)$

Por (I) e (II) obtemos:

$3733^{2019}+2019^{3733}\equiv 1+3 \equiv 4 \ mod \ 6$

Para saber mais sobre Congruência Modular acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/22681194

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