Question

o resto da divisão de um polinomio p(x) por (x-2) é 7 e o resto da divisão por (x+2) é -1. Desse modo, o resto da divisão de p(x) por (x-2)(x+2) é :
a) 6 b) 8 c) 7x-1 d) 2x+3 e)3x+2

Answer 1

Sabe-se que P(x) = Q(x)D(x) + R(x),
em que Q(x) é o quociente da divisão;
            D(x) é o divisor;
           R(x) é o resto.

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P(x) = (x-2)Q(x) + 7
P(x) = (x+2)Q(x) - 1


(x-2)(x+2) = x² - 4

Então, P(x) = (x² - 4)Q(x) + ax + b
(note que o grau máximo que o resto pode ter é 1, já que o divisor tem um grau 2)

Pelo teorema do resto, P(a) = R, em que a vem de x - a (que é o divisor D(x)).
Então, P(2) = 7 e P(-2) = -1

P(2) = (2² - 4)Q(2) + 2a + b
P(2) = 2a + b

P(-2) = ((-2)² - 4)Q(-2) - 2a + b
P(-2) = -2a + b

Obtemos um sistema $\left \{ {{2a+b=7} \atop {-2a+b=-1}} \right.$
Somando as duas equações, temos:
2b = 6
b = 3

2a = 7 - 3
a = 2

Se o resto R(x) = ax +b, então R(x) = 2x + 3.

Qualquer dúvida, me pergunte.
Resposta: d