Question

O resto da divisão do polinômio D(x) = x5 − 5x3 + 4x pelo polinômio d(x) = x3 − x2 − 4x + 1 é o polinômio do segundo grau r(x). Qual é a solução real,
não nula, da equação r(x) = 0 ?

Serei grata a quem responder

Answer 1

Vamos lá ^-^

Os dois polinômios são:

$D(x) = x^{5} - 5x^{3} +4x$

$d(x) = x^{3}-x^{2} -4x +1$

Fazendo a divisão:

$x^{5} - 5x^{3} +4x \:|\: x^{3}-x^{2} -4x +1$

Quociente:

$x^{2} +x$

Resto:

$3x^{2} +3x$

Eu fiz a divisão em uma folha, cuja foto está anexada nessa resposta.

Solução de r(x):

$3x^{2} +3x = 0$

$3x(x+1)=0$

$ou\: x=0$

$ou\: x+1=0$

$x=-1$

Solução:

Ele não quer a solução nula, logo:

S = {x ∈ R / x = -1}

S = {-1}

Perdão se cometi algum erro.

Answer 2

A solução real,  não nula, da equação r(x) = 0 é:

x = - 1

Explicação:

Vamos efetuar a divisão do polinômio D(x) pelo polinômio d(x).

No caso, será preciso completar o polinômio D(x). Ele ficará assim:

x⁵ - 5x³ + 4x = x⁵ + 0x⁴ - 5x³ + 0x² + 4x

 x⁵ + 0x⁴ - 5x³ + 0x² + 4x   | x³ - x² - 4x + 1

- x⁵ +   x⁴ + 4x³ -  x²                 x² + x

  0 +   x⁴  -   x³ -  x²

        - x⁴  +  x³ + 4x² -  x

                          3x² + 3x

Não dá para continuar a divisão, pois o grau do resto é menor que o grau do divisor.

Então, o resultado dessa divisão é:

quociente: Q(x) = x² + x

resto: r(x) = 3x² + 3x

O resultado da equação r(x) = 0 será:

3x² + 3x = 0

3x·(x + 1) = 0

Há duas possibilidades

3x = 0     x + 1 = 0

x = 0       x = - 1

A solução não nula é x = - 1.

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