Matemática, perguntado por lukasssspdkwht, 1 ano atrás

O restaurante Exatus vende 1.000 pratos vegetarianos a $18,00 por semana. Quando o restaurante oferece um desconto de $5, passa a vender 1.500 pratos, por semana.
a) Qual deve ser o valor do desconto, para que a receita semanal seja maximizada?
b) Determine a receita máxima.
c) Represente graficamente a função receita descrita acima, usando algum aplicativo de base matemática (Planilha, Geogebra, AutoCad, Wolfram Alpha, etc.).

Soluções para a tarefa

Respondido por jonataslaet
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Algumas informações importantes extraídas da questão:

1000 pratos por 18 reais cada.

1500 pratos por (18-5) reais cada.

Vamos expressar as informações acima por meio de duas equações:

R1 = 1000 * 18

R2 = (1000 + 500) * (18 – 5)

Esses 500 foi a quantidade vendida a mais de pratos quando o desconto foi 5. Mas o desconto oferecido poderia ser outro e, consequentemente, a quantidade vendida a mais de pratos seria outra. Nesse caso, devemos colocar uma quantidade P, de pratos a mais, em função do desconto X. Desse modo, a equação fica assim:

R(X) = (1000 + P) * (18 – X)

Sendo assim, 500 está para 5, assim como P está para X; expressando isso em forma de equação, fica:

500 / 5 = P / X

(500 * X) / 5 = P

P = 100 * X

Substituindo na equação R(X) o valor de P, temos:

R(X) = (1000 + 100 * X) * (18 – X)

R(X) = 1000 * 18 + 100 * X * 18 – 1000 * X – 100 * X²

R(X) = -100 * X² + 800 * X + 18000

Perceba que R(X) está na forma: A * X² + B * X + C; que é uma equação do segundo grau.

a)

O valor de X para o qual R(X) é o maior possível, a gente conhece por Xv, calculado assim:

Xv = -B / (2 * A) = -800 / (2 * (-100))

Xv = -800 / -200

Xv = 4

b)

A receita máxima pode ser calculada substituindo o valor de Xv, da resposta anterior, na equação R(X); e esse resultado máximo é conhecido por Yv. Esse Yv também pode ser encontrado assim:

Yv = -delta / (4 * A) = -(B² - 4 * A * C) / (4 * (-100))

Yv = -(800² - 4 * -100 * 18000) / (-400)

Yv = -7840000 / -400

Yv = 19600

c)

Fiz uma tabela no Excel. Coloquei uns valores exemplos, de acordo com a equação encontrada de R(X), para formar o gráfico e anexei aqui na resposta.  Porém, para conferir em outro meio citado por você - o Wolfram -, você pode também visitar o link a seguir: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-100x%C2%B2+%2B+800x+%2B+18000

Anexos:

adjemir: Perfeito, Jonatas, a outra resposta que havia sido dada por outro usuário estava BEM equivocada. Foi bom você haver retirado a resposta dele daqui da plataforma pois iria fazer aquela "confusão" na cabeça dos estudantes que procuram a plataforma para fazer suas pesquisas. Para essa mesma questão, eu já havia respondido para outros usuários e a resposta é realmente a que você deu. Parabéns.
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