O restaurante Exatus vende 1.000 pratos vegetarianos a $18,00 por semana. Quando o restaurante oferece um desconto de $5, passa a vender 1.500 pratos, por semana.
a) Qual deve ser o valor do desconto, para que a receita semanal seja maximizada?
b) Determine a receita máxima.
c) Represente graficamente a função receita descrita acima, usando algum aplicativo de base matemática (Planilha, Geogebra, AutoCad, Wolfram Alpha, etc.).
Soluções para a tarefa
Algumas informações importantes extraídas da questão:
1000 pratos por 18 reais cada.
1500 pratos por (18-5) reais cada.
Vamos expressar as informações acima por meio de duas equações:
R1 = 1000 * 18
R2 = (1000 + 500) * (18 – 5)
Esses 500 foi a quantidade vendida a mais de pratos quando o desconto foi 5. Mas o desconto oferecido poderia ser outro e, consequentemente, a quantidade vendida a mais de pratos seria outra. Nesse caso, devemos colocar uma quantidade P, de pratos a mais, em função do desconto X. Desse modo, a equação fica assim:
R(X) = (1000 + P) * (18 – X)
Sendo assim, 500 está para 5, assim como P está para X; expressando isso em forma de equação, fica:
500 / 5 = P / X
(500 * X) / 5 = P
P = 100 * X
Substituindo na equação R(X) o valor de P, temos:
R(X) = (1000 + 100 * X) * (18 – X)
R(X) = 1000 * 18 + 100 * X * 18 – 1000 * X – 100 * X²
R(X) = -100 * X² + 800 * X + 18000
Perceba que R(X) está na forma: A * X² + B * X + C; que é uma equação do segundo grau.
a)
O valor de X para o qual R(X) é o maior possível, a gente conhece por Xv, calculado assim:
Xv = -B / (2 * A) = -800 / (2 * (-100))
Xv = -800 / -200
Xv = 4
b)
A receita máxima pode ser calculada substituindo o valor de Xv, da resposta anterior, na equação R(X); e esse resultado máximo é conhecido por Yv. Esse Yv também pode ser encontrado assim:
Yv = -delta / (4 * A) = -(B² - 4 * A * C) / (4 * (-100))
Yv = -(800² - 4 * -100 * 18000) / (-400)
Yv = -7840000 / -400
Yv = 19600
c)
Fiz uma tabela no Excel. Coloquei uns valores exemplos, de acordo com a equação encontrada de R(X), para formar o gráfico e anexei aqui na resposta. Porém, para conferir em outro meio citado por você - o Wolfram -, você pode também visitar o link a seguir: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-100x%C2%B2+%2B+800x+%2B+18000
