Question

O reservatório A perde água a uma taxa constante de 15 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 17 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no gráfico

Answer 1

Resposta:

$t=x_{0}= 20h$

Explicação passo-a-passo:

Bem, para encontrarmos o valor de $t$ no ponto $x_{0}$, precisamos inicialmente escrever as funções que descrevem a perda de água da reservatório A e o ganho de água do reservatório B.

*Escrevendo a função que descreve a perda de água do reservatório A:

Vemos pelo gráfico que inicialmente o reservatório A possui 700L de água e que o mesmo vai perdendo 15L a cada hora que se passa. Com base nesses dados podemos escrever a função de perda de água do reservatório A da seguinte forma,

$A(t)=-15t+700$

Como é fácil de observar, vemos que essa função é um função que depende do tempo, ou seja, pra cada hora que se passa temos um volume diferente para o reservatório. Na função $A(t)$ o  $-15t$ significa que para cada valor de t em horas é tido uma perda de água de 15L, por isso o sinal é negativo, porque há uma perda, e o $700$ representa o nível de água inicial no reservatório.

*Escrevendo a função que descreve o ganho de água do reservatório B:

Vemos que inicialmente o reservatório possui 60L de água e que ele receber mais 17L a cada hora que se passa. Com base nesses dados podemos escrever esse ganho de água da seguinte forma,

$B(t)=17t+60$

Onde o $17t$ representa o ganho de 17L de água pra cada t em horas e o $60$ representa o nível de água inicial do reservatório.

*A interpretação matemática do ponto $x_{0}$ é a intersecção das duas retas, ou das duas funções. Em outras palavras o ponto $x_{0}$ está nos dizendo que naquele ponto específico $A(t) = B(t)$, ou seja, no ponto onde $t = x_{0}$ o volume de água do reservatório A é igual ao volume de água do reservatório B.

Fazendo essa igualdade nós encontramos:

$A(t) = B(t)\\-15t+700=17t+60\\17t+15t=700-60\\32t=640\\t=\frac{640}{32}\\ t=20h$

Como sabemos que t da intersecção das duas retas/funções é igual à $x_{0}$, temos que:

$t=x_{0} =20h$