Question

O rendimento de uma aplicação bancária a juros compostos pode ser expressa pela seguinte função: f(t) = f(0)e i -t ( potência ) Sendo "f(t)" o saldo após "t" anos, "f(0)" o valor inicial aplicado e "i" o juros. Se uma pessoa aplica 15000 com juros anual de 6%, determine a taxa de crescimento aproximado do valor aplicado após 10 anos. Assinale a alternativa correta. ​ ALTERNATIVAS A taxa de crescimento do saldo aplicado após 10 anos é de 1325,75/ano. A taxa de crescimento do saldo aplicado após 10 anos é de 1639,91/ano. A taxa de crescimento do saldo aplicado após 10 anos é de 978,25/ano. A taxa de crescimento do saldo aplicado após 10 anos é de 1498,23/ano. A taxa de crescimento do saldo aplicado após 10 anos é de 1798,60/ano.

Answer 1

Bom dia!

A função que dá o saldo em função do tempo, se eu entendi bem, é

$f(t)=f(0)\cdot{e}^{i\cdot{t}}$

Como queremos saber a taxa de rendimento, precisamos determinar a derivada dessa função, o que é simples:

$\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[f(0)\cdot{e}^{i\cdot{t}}\right]$
$\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}=f(0)\cdot\frac{\text{d}}{\text{d}t}{e}^{i\cdot{t}}$
$\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}=f(0)\cdot{e}^{i\cdot{t}}\cdot\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(i\cdot{t}\right)$
$\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}=f(0)\cdot{e}^{i\cdot{t}}\cdot{i}$

Com isso, utilizando os valores dados, 

i = 6% = 0,06
t = 10 anos
f(0) = R$15000,

temos:

$\left.\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right|_{t=10}=15000\cdot{e}^{0,06\cdot{10}}\cdot{0,06}$
$\left.\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right|_{t=10}=R\ 1639,91/ano$