Question

O raio e a altura de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,01cm/min e 0,02cm/min, respectivamente. A taxa de variação do volume quando r = 4cm e h =7cm é dada por:

(Lembre-se que o volume de um cilindro circular reto é dado por V(r,h)= PI r^2 h , onde r=r(t) e h=h(t) .)

Answer 1

A taxa de variação do volume é de aproximadamente 2,76 cm³/min.

• O volume do cilindro é obtido pelo produto entre sua área da base (π⋅r²) e sua altura (h): V = π ⋅ r² ⋅ h
• Quando seu raio e altura variam, a taxa de variação de seu volume é obtido por:

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \cdot \dfrac{dr}{dt} + \dfrac{dV}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dt}$

• Substitua dV/dr e dV/dh pelas derivadas do volume em relação ao raio e altura respectivamente.

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} = 2 \pi r h \cdot \dfrac{dr}{dt} + \pi r^2 \cdot \dfrac{dh}{dt}$

• Substitua os valores de h, r e suas respectivas taxas de variação fornecidas pelo enunciado.

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} = 2 \pi \cdot4 \cdot 7 \cdot 0,01 + \pi \cdot 4^2 \cdot 0,02$

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} = 0,56 \cdot \pi + 0,32 \cdot \pi$

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} = 0,88 \cdot \pi \quad cm^3/min$

$\large \sf \dfrac{dV}{dt} \approx 2.76 \quad cm^3/min$

A taxa de variação do volume é de aproximadamente 2,76 cm³/min.

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