Question

O raio de uma circunferência mede 8 cm. Qual a medida de um arco dessa circunferência cujo comprimento corresponde a 2π cm?


Escolha uma:
a. 60°
b. 30°
c. 45°
d. 90°

Answer 1

O comprimento $C$ do arco de uma circunferência de raio $r$, com ângulo $\alpha$ (em radianos) é dado pela seguinte fórmula:

$C=\alpha \cdot r$


Para esta questão, temos

$C=2\pi \text{ cm}\;\text{ e }\;r=8\text{ cm}$


Substituindo na fórmula, encontramos o ângulo $\alpha$ correspondente em radianos:

$2\pi = \alpha \cdot 8\\ \\ \alpha=\dfrac{2\pi}{8}\\ \\ \alpha=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\pi}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 4}\\ \\ \alpha=\dfrac{\pi}{4}\text{ rad}$


Para transformar a medida do arco de radianos para graus, utilizamos a seguinte relação:

$1\text{ rad}=\dfrac{180^{\circ}}{\pi}\;\Leftrightarrow\;1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180}\text{ rad}$


Sendo assim,

$\alpha=\dfrac{\pi}{4}\text{ rad}\\ \\ \alpha=\dfrac{\diagup\!\!\!\! \pi}{4}\cdot \dfrac{180^{\circ}}{\diagup\!\!\!\! \pi}\\ \\ \alpha=\dfrac{180^{\circ}}{4}\\ \\ \alpha=45^{\circ}$


Resposta: alternativa $\text{c. }45^{\circ}$.