Question

O raio da circunferência de centro O, desenhada abaixo, mede 2 cm e os três ângulos assinalados mede 60º.

a) Calcule as medidas dos ângulos internos de um dos triângulos da figura.

b) Qual a área de cada um desses triângulos?

c) Determine a área da região sombreada.

Answer 1

Visto que a esfera foi dividia em 6 partes iguais, o angulo central de cada triângulo mede 60º.

α = 360º/6
α = 60º

a) Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é igual a 180º, portanto a soma dos ângulos de qualquer um dos triângulos da circunferência terá mesmo valor.

Através disso, e sabendo que o raio da circunferência mede 2, podemos também afirmar que os triângulos são equiláteros (todos os lados iguais) e seus ângulos são todos iguais a 60º. Portanto sua área será igual a base vezes altura divididos por 2:

b) A = b.h/2

2² = 1² + h²
h² = 3
h = √3

A = (2 x √3)/2
A = √3 cm²

c) A área da região sombreada será igual a área do setor menos a área do triangulo, logo:

Ac = π.r²
Ac = 12,56 cm²

As =12,56/6
As = 2,10 cm²

A sombreada = 3 x (2,1 - √3) 
A somb = 3 x 0,36
A somb = 1,09 cm²