Question

O raio da circunferência de centro ( 2, 1 ) , e tangente à reta 5x + 12 y + 4 = 0 é:


​

Answer 1

Resposta:

istancia de (2,1) a reta 5x+12y+4 =0

r² = (5*2 + 12*1 + 4) ² ´/ (5²+12²)

r² = 26²/13²

r = 26/13

r =2

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{r=2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja uma circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e uma reta de equação geral $ax+by+c=0$. A distância entre o centro e sua projeção ortogonal na reta determina três casos possíveis:

• Quando $d<r$, a reta é secante à circunferência e tem dois pontos de intersecção.
• Quando $d=r$, a reta é tangente à circunferência e tem apenas um ponto de intersecção.
• Quando $d>r$, a reta é externa à circunferência e não apresenta pontos de intersecção.

A distância $d$ entre o centro e a reta é calculada pela fórmula $d=\dfrac{|a\cdot x_c+b\cdot y_c+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Devemos encontrar a medida do raio da circunferência de centro $(2, ~1)$ que é tangente à reta de equação $5x+12y+4=0$. Dessa forma, utilizando a fórmula da distância, encontraremos diretamente a medida do raio.

Substituindo os dados na fórmula, teremos:

$d=\dfrac{|5\cdot 2+12\cdot 1+4|}{\sqrt{5^2+12^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|10+12+4|}{\sqrt{25+144}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|26|}{\sqrt{169}}$

Decompondo o radicando em fatores primos, obtemos $169=13^2$ e calcule o módulo do número

$d=\dfrac{26}{13}$

Simplifique a fração

$d=2$

Como $d=r$, temos

$r=2$

Esta é a medida do raio desta circunferência nestas condições.