Question

O raio da base de um cone, a altura desse cone e sua geratriz possuem medidas nessa ordem, em progressão aritmética (P.A.) de razão 2. Obtenha a medida do volume desse cone em 3 cm .

Answer 1

Vamos então estruturar a progressão aritmética que nos dá o raio, altura e geratriz do cone. Vamos então chamar a medida da altura do cone de x, assim o raio e geratriz serão respectivamente x - 2 e x + 2.

PA = (x - 2), (x), (x + 2)

Sabemos que estes três segmentos formam um triângulo retângulo, então podemos encontrar o valor de x fazendo Teorema de Pitágoras.

(x+2)² = x² + (x-2)²

x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4

x² - 8x = 0

x(x - 8) = 0

x = 0 ou x = 8

Como não há medida negativa em figuras, x = 8 e nossa PA se torna:

PA = 6, 8, 10.

O volume do cone é dado por:

$V= \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\\\\V = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 8}{3}\\\\V = 96 \pi$

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