Question

O rádio 226 tem meia vida de 1620 anos. Encontre o intervalo de tempo no
qual uma amostra dessa substância se reduz a 3/4 de sua massa original.

Answer 1

Consideremos $t$ o tempo (em anos), e $m\left(t)$ a função que representa a massa de rádio 266, após ter se passado $t$ anos.

No início, quando $t=0$, temos que a massa original de rádio 266 é

$m\left(0 \right )=m_{0}$


A função de decaimento radioativo é uma função exponencial decrescente, que possui a forma

$m(t)=m_{0}\cdot e^{k t}$

(onde $e$ é a base neperiana, ou o número de Euler; é um número irracional cujo valor aproximado é $2,718$)


A meia-vida é o valor de $t$, para o qual a massa neste instante é igual à metade da massa inicial. De acordo com o enunciado, a meia vida do rádio 266 é igual a $1\,620$ anos. Logo,

para $t=1\,620$, temos

$m\left(1\,620 \right )=\dfrac{1}{2}\cdot m_{0}\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot e^{k\cdot 1\,620}=\dfrac{1}{2}\cdot \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\\ \\ e^{k\cdot 1\,620}=\dfrac{1}{2}\\ \\ k\cdot 1\,620=\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ k\cdot 1\,620=-\mathrm{\ell n}(2)\\ \\ k=\dfrac{-\mathrm{\ell n}(2)}{1\,620}$


Com o auxílio de uma calculadora ou planilha, podemos calcular os valor aproximado do logaritmo, e temos

$\mathrm{\ell n}(2)\approx 0,693$


Logo,

$k \approx \dfrac{-0,693}{1\,620}\\ \\ k \approx -4,28 \cdot 10^{-4}\mathrm{\;\;(ano^{-1})}$


Agora, queremos descobrir o intervalo de tempo $t$, para o qual a massa neste instante é igual a $\dfrac{3}{4}$ da massa original. Dessa forma, temos
 
$m(t)=\dfrac{3}{4}\cdot m_{0}\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\cdot e^{kt}=\dfrac{3}{4}\cdot \diagup\!\!\!\!\! m_{0}\\ \\ e^{kt}=\dfrac{3}{4}\\ \\ kt=\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{3}{4} \right )\\ \\ kt=\mathrm{\ell n}(3)-\mathrm{\ell n}(4)\\ \\ kt=\mathrm{\ell n}(3)-\mathrm{\ell n}(2^{2})\\ \\ kt=\mathrm{\ell n}(3)-2\mathrm{\,\ell n}(2)\\ \\ t=\dfrac{\mathrm{\ell n}(3)-2\mathrm{\,\ell n}(2)}{k}\\ \\ t=\left[\mathrm{\ell n}(3)-2\mathrm{\,\ell n}(2) \right ]\cdot \dfrac{1}{k}\\ \\ t=\left[\mathrm{\ell n}(3)-2\mathrm{\,\ell n}(2) \right ]\cdot \dfrac{1\,620}{-\mathrm{\ell n}(2)}$


Obtendo os valores aproximados dos logaritmos, temos

$\mathrm{\ell n}(2) \approx 0,693\\ \\ \mathrm{\ell n}(3) \approx 1,099$


Logo, o valor aproximado para o intervalo de tempo pedido na questão é

$t \approx \left[1,099-2\cdot 0,693 \right ]\cdot \dfrac{1\,620}{-0,693}\\ \\ t \approx 671\text{ anos}$