Question

O quociente y = $\frac{6x - 6}{x^2 - 1}$ é um número natural, com x ∈ N. Nessas condições, a soma de todos os possíveis valores de y é? Escreva a resolução se possível pfv.

Answer 1

Talvez não seja a melhor forma de resolver a questão, mas é o melhor que consegui no momento.

Primeiramente, o problema diz que o quociente dado na função y = 6x-6/x²-1 é um número natural, então y é um número natural; portanto todos os valores negativos e número racionais em forma de dízima periódica estão fora do conjunto de valores de y.
Da mesma forma é afirmado que x também pertence a N, segue mesma regra.

Se considerarmos o 0 como pertencente aos números naturais então os possíveis valores de y têm que pertencer ao conjunto
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}

Vamos simplificar a função:

$y=\dfrac{6x-6}{x^{2}-1}=\dfrac{6\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{6}{x+1}$

Temos agora o número 6 dividido por determinados números formados pela soma (x+1). Porém, observamos que para que o resultado da divisão por 6 seja um número natural, a única possibilidade é que ele seja dividido por seus próprios divisores. Afinal se calcularmos, por exemplo, 6/7 = 0,86 não teremos um número natural como resultado. Ou, 6/4 = 1,5 e 6/5 = 1,2, também não são números naturais.

Como sabemos os divisores de 6 são:
D(6)={1,2,3,6} e são esses precisamente os únicos valores pertencentes a N possíveis para y.

Vejamos (como disse acima, considerando que 0 pertence a N):

Para x = 0

$y=\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{6}{0+1}=6$


Para x = 1

$y=\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{6}{1+1}=3$


Para x = 2

$y=\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{6}{2+1}=2$


Para x = 5

$y=\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{6}{5+1}=1$

Para qualquer outro valor de x, o resultado do quociente não será um numero natural.

Lembrando também que y não pode ser igual a zero, afinal não existe nenhum número que dividindo 6 seja igual a zero.

Podemos também verificar isso da seguinte forma:

$y=\dfrac{6}{x+1}\ \Rightarrow y\cdot \left(x+1\right)=6\ \Rightarrow \left(x+1\right)=\dfrac{6}{y}$

Como não pode haver divisão por 0, então y não pode ser igual a 0.

Assim, os únicos valores possíveis para y são y = {1,2,3,6} e a soma desses valores é:
1+2+3+6 = 12

A resposta, portanto, é 12.

Sempre lembrando que consideramos que 0 ∈ N, o que não é de plena aceitação.