o quinto termo da pa (-5,2...)
Soluções para a tarefa
a5= -5 + 4*7= 23
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (-5, 2,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 7 unidades. Se um comportamento deste tipo acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -5 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);
d)quinto termo (a₅): ?
e)número de termos (n): 5
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 5ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 2 - (-5) ⇒
r = 2 + 5 ⇒
r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quinto termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₅ = -5 + (5 - 1) . (7) ⇒
a₅ = -5 + (4) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₅ = -5 + 28 ⇒
a₅ = 23
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O quinto termo da P.A. (-5, 2...) é 23.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₅ = 23 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quinto termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
23 = a₁ + (5 - 1) . (7) ⇒
23 = a₁ + (4) . (7) ⇒
23 = a₁ + 28 ⇒
23 - 28 = a₁ ⇒
-5 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -5 (Provado que a₅ = 23.)
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