Question

O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de razão positiva valem, respectivamente, 10 e 16. Qual é o sexto termo dessa PG?
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A princípio fiz
a7 = a5 * q^2
16 = 10 * q^2
1,6 = q^2

mas 0,4 *0,4 = 0,16

resposta do gabarito: 4√10

Answer 1

Dados:

๏ $a_5=10$
๏ $a_7=16$
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Primeiramente iremos determinar o valor da razão da P.G. Substituindo os dados na formula geral da P.G teremos:

$a_n=a_k\cdot q^{n-k}\\a_7=a_5\cdot q^{7-5}\\16=10\cdot q^2\\q^2=\dfrac{16}{10}\\q=\pm \sqrt{\dfrac{16}{10}}\text{ (Lembrando que a razao e positiva)}\\q=\sqrt{\dfrac{16}{10}}\\\\q=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{10}}\\\\q=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\text{ (Racionalizando)}\\\\q=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\\\q=\dfrac{4\sqrt{10}}{10}\text{ (Simplificando)}\\\\\bold{q=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}}$
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Agora para encontra o valor do 6ª termo da P.G, teremos que substituir na formula geral da P.G:

$a_n=a_k\cdot q^{n-k}\\a_6=a_5\cdot \left(\frac{2\sqrt{10}}{5}\right)^{6-5}\\a_6=10\cdot \frac{2\sqrt{10}}{5}\\a_6=2\cdot 2\sqrt{10}\\\boxed{\bold{a_6=4\sqrt{10}}}$
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Resposta: $a_6=4\sqrt{10}$