Question

o que significa dizer a derivada da função sen (x) ? Será que o resultado encontrado equivale ao valor da inclinaçao da reta tangente?

Answer 1

A função seno é uma função que diverge entre -1 e 1 infinitamente, se fossemos descrever a função seno como uma série, poderíamos fazê-la assim:
$\displaystyle \sin(x)=\{1,-1,1,-1,1,...\}\forall x=\frac{\pi}{2}~e~\frac{\pi}{2}+x\pi~|~x\in\mathbb{N}^*$
mas perceba que a função cosseno é diferente. Diverge entre -1 e 1 em todos os reais, porém isso entre $\pi~e~-\pi$

Calculando a derivada de seno:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$
$\displaystyle i)~~~~\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\\\ii)~~~\lim_{h\to0}\frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}\\\\iii)~~\lim_{h\to0}\frac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}\\\\iv)~~~\sin(x)\lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\\\\v)~~~~\sin(x)\cdot0+\cos(x)\cdot1=\cos(x)\\\\vi)~\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\cos(x)$
No passo iv usei os limites fundamentais:
$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0}~~~~~~~~~~e~~~~~~~~~\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1}$

acabei de te provar que $\boxed{\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)}$

Se lembra que nos pontos máximos das funções a inclinação da reta tangente é igual a zero, portanto a derivada nesse ponto é igual a zero???
Sabemos que os valores máximos e mínimos que seno assume no intervalo em que está definido é 1 e -1. Nos pontos $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ e $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$. Olhe o gráfico abaixo:
A reta laranja são as retas tangentes nos pontos $\left(\frac{\pi}{2},1)~e~\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$
Onde seno(x) vale 1 ou -1, a sua derivada (cos(x)) vale 0, pois esses pontos são máximos, nesses pontos nas funções as derivadas são iguais a zero.