Question

O que significa, através da linguagem de primeira ordem ( conjuntos ), dizer que a variável x está no escopo de Y

Answer 1

Lógica de Primeira Ordem ( Cálculo dos Predicados) A Lógica Sentencial (cálculo proposicional) é uma importante ferramenta para se realizar inferências sobre fórmulas proposicionais bem formadas. No entanto, ela não é suficiente forte para representar certas proposições (sentenças) da linguagem natural e, portanto, não possui ferramentas para raciocinar com estas linguagens. Por exemplo, é impossível encontrar um caminho formal no cálculo proposicional para testar a correção do seguinte argumento: Todo professor de ciência da computação possui um computador. (1) Sócrates não possui um computador. Logo, Sócrates não é um professor de ciência da computação. Para que seja possível formalizar este argumento se faz necessário, primeiro, quebrar as sentenças em partes de modo que as palavras do conjunto {Todo, possui, não} sejam corretamente interpretadas. Considerando S: “x possui um computador” vê-se que S não é uma proposição, pois o valor verdade de S depende de x. No entanto, se fizermos x = Sócrates então S torna-se uma proposição, pois, um dos valores V ou F pode ser associado a S. Do ponto de vista das linguagens naturais, um predicado é uma parte da sentença que estabelece uma propriedade ao sujeito e contém um verbo. Do ponto de vista da lógica um predicado é uma relação e se fizermos p(x) significando ‘ x possui um computador’ então p é um predicado que descreve a relação de possuir um computador. Se substituirmos a variável x por um nome próprio ou por algum valor definido então se obtém uma proposição. Na linguagem comum e na própria matemática, existe uma imensa lista de predicados, por exemplo: a) < ( x, y) é um predicado e se fizermos x=2 e y =3 temos <(2, 3) uma proposição verdadeira e <(3,2) uma proposição falsa em N. b) Pai(x,y) é um predicado que significa uma relação familiar entre os seres humanos desde que x e y sejam ambos humanos. Desta forma, se p(x) significa que x é mamífero então a proposição p(jacaré) é falsa e p(baleia) é verdadeira. De modo análogo a proposição: p(baleia) v p(jacaré) v p(pato) v p(boi) v p(cabra) é verdadeira , daí, podemos dizer que: ‘ existe um elemento no conjunto {baleia, jacaré, pato} tal que p(x) é verdadeira’. Ou de modo mais formal, seja D= {baleia, jacaré, pato} então podemos dizer que: ‘ Existe x ∈D tal que p(x) é verdadeira’. (*) A representação simbólica para (*) em lógica é dada por: ∃x p(x) e o símbolo ∃x é denominado quantificador existencial. Agora, seja a seguinte proposição p(baleia) & p(boi) & p(cabra) e o seguinte conjunto D = {baleia, boi, cabra} então podemos dizer: ‘ Para todo x∈D, p(x) é verdadeira’. (**) A expressão (**) em lógica é representada simbolicamente por: ∀ x p(x) e ∀ x é denominado quantificador universal. O argumento em (1) pode ser representado simbolicamente por: ∀ x (professor(x) == > possui_comp(x)) ~ possui_comp(sócrates) ~professor(sócrates) A noção de quantificador pertence á lógica de primeira ordem ou lógica dos predicados de primeira ordem. O termo ‘primeira ordem’ refere-se ao fato dos quantificadores só poderem quantificar variáveis que ocorrem nos predicados. Da mesma forma que fizemos para o cálculo proposicional é necessário dar uma descrição precisa para as fórmulas bem formadas de primeira ordem assim como seus significados. 1 - Sintaxe das Linguagens de Primeira Ordem Nas linguagens de primeira ordem os termos denotam indivíduos do domínio de discurso. Por exemplo, se considerarmos o domínio como sendo o conjunto dos números naturais então: • 1,2, 3.... são termos • +(2, 3), .(1,1) são termos pois denotam elementos do domínio. Definição 1- Um alfabeto de primeira ordem A consiste de: i. Símbolos lógicos: - pontuação: ( , ) - conectivos: ~(negação), v (disjunção), & (conjunção), == > (condicional), < ==> (bi-condicional) - quantificadores: ∀ ( quantificador Uuniversal) ∃ ( quantificador Existencial) - variáveis: um conjunto não vazio, enumerável, de símbolos distintos dos demais. - símbolo de igualdade ( opcional) : = ii. Símbolos não lógicos: - um conjunto possivelmente vazio de constantes.