o que são números racionais e irracionais?
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Resposta:
Conceito de número natural
Os primeiros números foram os números naturais. Entende-se por número natural o número inteiro que não é negativo, ou também o número inteiro que é positivo. Eles são os números mais comumente encontrados e a base da qual deriva toda a matemática. Na aritmética, a ciência dos números, o números naturais são representados pela símbolo N e N*.
Exemplos de números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9, 10 …}
N* ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 …}
Portanto, um número natural é inteiro faz parte dos conjuntos dos naturais, que também é considerado um conjunto infinito apesar de ser contável. Ou seja, o conjunto dos naturais é infinito porque os números naturais são infinitos, mas, ao mesmo tempo, são números que podem ser contados, apesar de nunca acabarem.
Primeiros números
Ninguém sabe ao certo quem foi o primeiro ser humano que deduziu que uma ave podia ser representada pelo número 1 e que três leões pelo número 3. A ideia de numerar as coisas é muito recente na história da humanidade. Evidências mostram que os babilônios, povo que viveu há quase 4 mil anos, possui um sistema de numeração do 1 ao 10.
Os egípcios, povos que viveram na região algumas dezenas de anos depois, já possuíam um sistema de numeração mais completo, com um símbolo, conhecidos como hieróglifos, para cada número de 1 a 1 milhão. Somente algumas dezenas de anos depois é que surge o número 0 como um número natural. Depois surgiram os números cardinais, racionais e outros tipos de números.
Axiomática de Peano
O matemático italiano Giuseppe Peano foi um grande entusiasta da ciência aritmética. Em seus estudos ele concluiu que a teoria dos números naturais poderia ser explicada por três conceitos primitivos e cinco proposições primitivas. São esses conceitos e proposições que até hoje dão o suporte necessário para o estudo da aritmética em vários campos da ciência.
0, número e sucessor
Ao criar os três conceitos bases da sua teoria, Peano buscou facilitar a vida dos estudantes da matemática. Dos seus estudos ele concluiu que 0 é um número, o conceito de «número» e «sucessor» também foram definidos por Peano como conceitos básicos da matemática. A partir desses conceitos, ele chegou às cinco proposições até hoje utilizadas e aceitas.
(1) 0 é um número
(2) O sucessor de qualquer número é um número
(3) Não há dois números com um mesmos sucessor
(4)0 não é sucessor de número algum
(5)Qualquer propriedade que pertença a 0, e também ao sucessor de todo o número que tenha essa propriedade, pertence a todos os números.
Essas cinco afirmações são a base de toda a matemática e a última frase representa o princípio da indução matemática. De acordo com as proposições de Peano, por exemplo, 1 é sucessor de 0, 2 é sucessor de 1, e assim por diante. Restando provas as proposições (2) e (3), pois, nenhum número tem o mesmo sucessor, tampouco 0 será sucessor de nenhum número, de acordo com a proposição (4).
Por fim, a proposição (5) mostra que todos os números estão nessa sequência de 0, número, sucessor. Se qualquer número for incluído nessa sequência, junto será também incluído o seu sucessor, pois, qualquer propriedade que pertença a 0, também pertencerá ao sucessor, vez que todos os números pertencem à sequência.