Question

O que são Funções Inversas?qual é a função inversa de f x = x^2+2kx+k^2-4, para g(21)?​

Answer 1

Resposta:

f^(- 1)(x) = raiz de(x + 4) - k, se y é maior ou igual a - k e x maior ou igual a - 4

ou

f^(- 1)(x) = - raiz de(x + 4) - k, se y é menor que - k e x maior ou igual a - 4

Explicação passo-a-passo:

f(x) = x² + 2kx + k² - 4 =>

f(x) = (x² + 2kx + k²) - 4 =>

f(x) = (x + k)² - 4

Sabemos que f(x) = y. Com isso basta permutar x com y e y com x. Logo:

x = (y + k)² - 4 =>

(y + k)² = x + 4 =>

|y + k| = raiz de(x + 4) *

Sabemos que f(x) = x² + 2kx + k² - 4 = (x + k)² - 4 (i) é uma parábola => para que exista função inversa, devemos restringir o domínio de f(x) (de modo a obter uma função bijetora). Sabemos que o vértice da parábola (ponto de mínimo, pois o coeficiente líder é igual a um) é o ponto V(- k, - 4), o que é fácil verificar olhando na forma canônica em (i). Com isso, para que exista função inversa, x deve ser maior ou igual a - k ou x deve ser menor que - k. Também é sabido que permutamos x com y e y com x (x foi trocado por y e y por x), o que acarreta y maior ou igual a - k ou y menor que - k. É notório que f(x) = y = (x + k)² - 4 => y + 4 = (x + k)² e (x + k)² é maior ou igual a zero => y é maior ou igual a - 4. Provamos que y é maior ou igual a - 4 e y foi permutado com x => x é maior ou igual a - 4. Após todas as condições de existência para as funções (domínios) podemos achar facilmente as duas funções inversas (pois restringimos o domínio da parábola, separando-a em duas funções bijetoras distintas, acarretando duas funções inversas distintas, cada uma em seu respectivo intervalo de existência). Voltando em *, obteremos:

|y + k| = raiz de(x + 4) =>

y + k = raiz de(x + 4)

ou =>

- (y + k) = raiz de(x + 4)

y = raiz de(x + 4) - k

ou

y = - raiz de(x + 4) - k

O que equivale a:

f^(- 1)(x) ** = raiz de(x + 4) - k, se y é maior ou igual a - k e x é maior ou igual a - 4

ou

f^(- 1)(x) = - raiz de(x + 4) - k, se y é menor que - k e x é maior ou igual a - 4

** Onde f^(- 1)(x) é a função inversa de f(x)

Abraços!