Question

O que eu faço quando uma função tem 3 ou mais condições como nas fotos em anexo? Qual eu uso pra fazer limite, etc?

Answer 1

2. Seja F(x)=

I.-x se x ≤ -1
II.1-x² e -1<x<1
III.x-1 se x ≥ 1 

Para calcular $\lim_{x \to \ 1} F(x)$ e $\lim_{x \to \ -1} F(x)$,é preciso abrir os limites laterais.Veja:


I.$\lim_{x \to \ 1+} F(x) = \lim_{x \to \ 1+} x-1=0$

II.$\lim_{x\to \ 1-} F(x) = \lim_{x \to \ 1-} 1-x^2=0$

Como esses limites acimas são iguais,então:

$\lim_{x\to \ 1} F(x)=0$

III.$\lim_{x \to \ -1+} F(x)= \lim_{x\to \ -1+} 1-x^2=0$

IV.$\lim_{x \to \ -1-} F(x)= \lim_{x \to \ -1-} -x=1$

Como os limites acima diferem,então:


$\lim_{x \to \ -1} F(x)$ não existe.

5.Seja F(x)=

I.x-√(x²-3x) se x<0
II.x²+1 se 0 ≤ x ≤1
III.2x se 1 ≤ x ≤ π
IV.sen(2πx)/x se x ≥ π

a)Para ser diferenciável em 0,a função deve ser contínua em 0.Vamos verificar isso abrindo os limites laterais.

I.$\lim_{x \to \ 0+} F(x)= \lim_{x \to \ 0+} x^2+1=1$

II.$\lim_{x \to \ 0-} F(x)= \lim_{x \to \ 0-} x- \sqrt{x^2-3x} =0$

Como os limites acima diferem,a função não é contínua em 0 e,consequentemente,também não é diferenciável em 0.

b)De forma análoga ao item a,vamos primeiramente verificar se F é contínua em 1:

I.$\lim_{x \to \ 1-} F(x)= \lim_{x \to \ 1-} x^2+1=2$

II.$\lim_{x \to \ 1+} F(x)= \lim_{x\to \ 1+} 2x =2$

Já que tais limites são iguais:

$\lim_{x \to \ 1} F(x)=2$=F(1) (ou seja,F,de fato,é contínua em 1).

Com isso,agora verificaremos se a função é diferenciável em 1.Para tal,este limite deve existir:

$\lim_{x \to \ 1} (F(x)-2)/(x-1)$

Vamos abrir os limites laterais mais uma vez:



I.$\lim_{x \to \ 1+} (F(x)-2)/(x-1)$ = $\lim_{x \to \ 1+} (2x-2)/(x-1)= \lim_{x \to \ 1+} 2(x-1)/(x-1)=2$

II.$\lim_{x \to \ 1-} (F(x)-2)/(x-1)$=$\lim_{x \to \ 1-} (x^2+1-2)/(x-1)= \lim_{x \to \ 1-} (x+1)(x-1)/(x-1)=2$

Como eles resultaram no mesmo valor,então f é diferenciável em 1.

c)Abrindo os limites laterais:


I.$\lim_{x \to \ \pi+ } F(x) = \lim_{x \to \pi+} sen(2 \pi *x)/x=sen(2 \pi ^2)/ \pi$

II.$\lim_{x \to \ \pi -} F(x)= \lim_{x \to \ \pi-} 2x=2 \pi$

Estes limites são desiguais,logo F não é contínua em π.


d)f'(-1)=(x-√(x²-3x))' aplicada em x = -1

Isso resulta em:

1-(x²-3x)^(-1/2)/(2)*(2x-3)

Logo:

f'(-1)=1-(1/2)/(2) * (-5)=1+(5/4)=9/4