Question

O que era impressão virou estatística: a cidade de São Paulo está cada dia mais lenta. Quem mostra é a própria CET (Companhia de Engenharia de Tráfego), que concluiu um estudo anual sobre o trânsito paulistano. Os dados de 2012 apontam que a velocidade média nos principais corredores viários da cidade foi de 22,1 km/h no pico da manhã e de 18,5 km/h no pico da tarde. Uma piora de 5% e 10% em relação a 2008, respectivamente. Caso a velocidade média do trânsito nos principais corredores viários paulistanos continue decaindo nos mesmos percentuais pelos próximos anos e sabendo que ln 2 ~ 0,69, ln 3 ~ 1,10, ln 5 ~ 1,61 e ln 19 ~ 2,94, os anos aproximados em que as velocidades médias nos picos da manhã e da tarde chegarão à metade daquelas observadas em 2012 serão, respectivamente, (A) 2028 e 2019. (B) 2068 e 2040. (C) 2022e2017. (D) 2025 e 2018. (E) 2057 e 2029.

Answer 1

Vamos interpretar o enunciado.

Chamando Vm(t) e Vt(t) as funções que calculam a velocidade média nos picos da manhã e da tarde, respectivamente, sendo t o tempo em anos (t=0 representa 2012, t=1 representa 2013 e assim por diante), podemos escrever estas funções da seguinte forma:
$Vm(t) = 22,1(1-0,05)^{t/4} \\ \\ Vt(t) = 22,1(1-0,10)^{t/4}$

Explicando:
22,1 é o valor inicial, ou seja, o valor em t = 0 (2012).
(1-0,05) e (1-0,10) equivale a diferença em relação a 2008 (5% e 10%).
O expoente quer dizer que esta mudança acontece a cada 4 anos.

Para que a velocidade média no pico da manhã seja a metade, precisamos substituir Vm(t) por 22,1/2. O mesmo vale para o pico da tarde:
$\dfrac{22,1}{2} = 22,1(0,95)^{t/4} \\ \\ 2^{-1} = 0,95^{t/4} \\ \\ \\ \\ \dfrac{22,1}{2} = 22,1(0,9)^{t/4} \\ \\ 2^{-1} = 0,9^{t/4}$

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados (manhã):
$ln(2^{-1}) = \dfrac{t}{4} ln(0,95) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(ln(95)-ln(100)) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(ln(5)+ln(19)-ln(2*5)^2) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(ln(5)+ln(19)-2(ln(2)+ln(5))) \\ \\ -0,69 = \dfrac{t}{4}(1,61+2,94-2(0,69+1,61)) \\ \\ -0,69 = \dfrac{t}{4}(-0,05) \\ \\ t = 55,2$

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados (tarde):
$ln(2^{-1}) = \dfrac{t}{4} ln(0,9) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(ln(9)-ln(10)) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(ln(3^2)-ln(2*5)) \\ \\ -ln(2) = \dfrac{t}{4}(2ln(3)-ln(2)-ln(5)) \\ \\ -0,69 = \dfrac{t}{4}(2,2-0,69-1,61) \\ \\ -0,69 = \dfrac{t}{4}(-0,1) \\ \\ t = 27,6$

Os anos correspondentes são:
Manhã: 2012 + 55,2 ≈ 2068
Tarde: 2012 + 27,6 ≈ 2040

Resposta: letra B