O que é uma PA? me ajudem
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Resposta:
Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r.
Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.
Exemplos de progressão aritmética
Considere as seguintes sequências:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
(3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 – 3 = 0.
(10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 – 10 = -5.
Tipos de progressões aritméticas (P.A.)
Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.
Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.
Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.
Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.
Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.
Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.
Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)
Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:
Seja a P.A. com razão r a seguir:
(a1, a2, a3, …, an-1, an, …)
A partir da P.A. acima, sabemos que:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
a5 = a4 + r
.
.
.
an = an-1 + r
Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:
(a1 + a2 + a3 + … + an-1) + (an = a1 + a2 + a3 + … an-1) + r + r + r + … + r ((n – 1) vezes)
Com isso chegaremos a seguinte fórmula, após simplificarmos os termos:
an = a1 + (n – 1)r
Onde:
an: é o termo geral;
a1: é o primeiro termo da P.A.;
n: é o número de termos ou o total de termos;
r: é a razão.
A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.
Exemplo:
Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.
De acordo com o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.
Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
a5 = 2 + (5 – 1).5
a5 = 2 + 4 x 5
a5 = 2 + 20
a5 = 22
Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …) Correto!
Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57)
Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
57 = 2 + (n – 1).5
57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)
57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)
57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)
57 + 3 = 5n
60 = 5n (passa dividindo)
n = 60⁄5
n = 12
Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.
Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57
Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8
31 = 10 + (8 – 1).r
31 = 10 + 7r
31 – 10 = 7r
21 = 7r
r = 21⁄7
r = 3
Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3
Soma dos termos de uma progressão aritmética finita
A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:
Soma dos termos de uma progressão aritmética finita
Exemplo:
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 – 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77
Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:
Progressão aritmética (PA) finita
Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)
Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2
Explicação passo-a-passo:
Espero ter ajudado.
Boa sorte!
Resposta:
depende e pá ou pa que e o aonde vamos e rals