Question

O que é uma derivada No Limite ​

Answer 1

A derivada "no limite" é a derivada extraída de uma função f(x) pela definição de derivada:

${dy\over dx}=\lim_{x\to0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over\Delta x}$

ou

${dy\over dx}=\lim_{x_Q\to x} {f(x_Q)-f(x)\over x_Q-x$

Dado uma função f(x), a taxa de variação média entre os pontos P e Q, aonde Q → P, é chamado taxa de variação instantânea ou derivada no ponto P; em que a fórmula da taxa de variação media é:

$T_m={y_Q-y\over x_Q-x}$

nos quais:

$\Delta x=x_Q-x$;

$y_Q=f(x_Q)$;

$y=f(x)$.

$T_m={f(x_Q)-f(x)\over x_Q-x}$

$T_m=\lim_{x_Q \to x} {f(x_Q)-f(x)\over x_Q-x}$

Para $x_Q\to x$, $\Delta x\to 0$:

$T_m=\lim_{\Delta x\to 0} {f(x_Q)-f(x)\over \Delta x}$

$\Delta x=x_Q-x\\\Delta x +x=x_Q$

$T_m=\lim_{\Delta x\to 0} {f(\Delta x+x)-f(x)\over \Delta x}$

Agora podemos chamarmos a variação média, neste caso, de variação instantânea ou derivada no ponto:

${dy\over dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} {f(x_Q)-f(x)\over \Delta x}$