Question

O que é,radicais algebricas e suas propriedades?

Answer 1

Sua pergunta não faz muito sentido, mas vou tentar esclarecer ao máximo pelo menos as operações mais simples. As operações de multiplicação e divisão requerem um estudo das propriedades de radicais e potências.


Conhecendo uma raiz

$\sqrt[\big{a}]{b}$

a é o índice. Representa o grau da raiz, se é quadrada ou cúbica, quarta, etc.

b é o radicando. É o número que estamos operando para descobrir qual a sua raiz.

Para realizarmos as operações de adição e subtração, os radicais devem ser semelhantes, ou seja, devem ter mesmo índice e radicando.

Exemplo: 

$\sqrt[2]{5} \;\; e\;\; \sqrt[2]{6}$ não são semelhantes, pois possuem radicandos diferentes 

$2\sqrt[4]{64} \;\;e\;\; 3\sqrt[4]{64}$ são semelhantes, pois possuem mesmo índice e mesmo radicando. Os números 2 e 3 são chamados coeficientes.


Adição e Subtração

Para efetuar essas operações, devemos conservar o radical (o símbolo com índice e radicando) e somar ou subtrair os coeficientes.

Exemplo: (1) adição e (2) subtração

$(1)\;\; 4\sqrt{3} + 5 \sqrt{3} = (4+5) \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \\\\ (2)\;\;6 \sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4} = (6-4) \sqrt[3]{4} =2\sqrt[3]{4}$



Multiplicação e divisão

De modo parecido com as operações anteriores, trabalhamos estas duas operações, mas, desta vez, os índices podem ser iguais ou diferentes e para o radicando não há restrição.

Exemplo:

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 12} = \sqrt{48}$

Os índices são iguais. Fazemos a multiplicação normalmente dentro do radical. O resultado fica mantido no radical, podendo ser simplificado.

$\dfrac{ \sqrt[4]{49} }{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[4]{ \dfrac{49}{7} } = \sqrt[4]{7}$

Os índices são iguais. Utilizamos as propriedades de radicais para resolver. O resultado continua o radical.


Índices diferentes


Quando os índices são diferentes, devemos fazer com que sejam índices de mesmo grau antes de operarmos com eles. Para isso, aplicamos o MMC e reescrevemos os radicais com índice de valor igual ao do resultado obtido.

$\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{3} , \;\;\;\;MMC(2,3) = 6\\\\ \sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[2\cdot3]{5^3} \cdot \sqrt[3\cdot2]{3^2} = \sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = \\\\ =\sqrt[6]{5^3 \cdot 3^2} = \sqrt[6]{125 \cdot 9} =\sqrt[6]{1125}$

Na multiplicação, encontramos o MMC igual a 6. Após isso, dividimos o MMC por cada índice e multiplicamos o resultado da divisão pelo índice (6:2=3 e 6:3=2) e o radicando fica elevado ao valor do resultado da divisão (5³ e 3²). Após isso, realizamos as operações sem nenhum problema.

$\dfrac{ \sqrt[2]{3} }{ \sqrt[5]{2} },\;\;\;\; mmc(2,5) = 10\\\\ \dfrac{ \sqrt[2\cdot 5]{3^5} }{ \sqrt[5 \cdot 2]{2^2} } = \dfrac{ \sqrt[10]{3^5} }{ \sqrt[10]{2^2} } = \sqrt[10]{ \dfrac{3^5}{2^2} } = \sqrt[10]{ \dfrac{243}{4} }$

Procedemos aqui, de modo semelhante ao método utilizado na multiplicação.

Em geral, é preciso dominar bem as propriedades de potência e radicais para operar expressões algébricas com radicais.