Question

O que é o método da substituição u.du na resolução de integrais? (Descreva resumidamente)

Como você resolveria, por este método, a integral abaixo?
$\large\sf\displaystyle \int^{4}_{0} \sqrt{2x+1} dx$

Agradeço desde já quem puder ajudar!

Answer 1

Resposta:

$\int\limits^4_0 {\sqrt{2x+1} } \, dx \\\\u = 2x +1\\du/dx = d2x/dx + d1/dx\\du/dx = 2 + 0\\du/dx= 2\\dx = du/2\\\\\int\limits^9_1 {\sqrt{u} } \, du/2$

Portanto a função de x é substituída por função de u e os limites de integração, agora é só resolver a integral.

Answer 2

Desejamos calcular a seguinte integral definida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx\end{gathered}$

Pelo que eu percebi, você está com um pouco de dúvidas na parte das substituições. então tentarei explicar da minha forma... O método da substituição consiste em transformar uma integral em outra mais simples, no caso da sua integral, podemos chamar 2x+1 de u, e com isso, teremos que mudar dx pois estaremos integrando em u, e para isso basta derivarmos u. Veja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 2x+1=u \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du=(2x+1)'dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du=2dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{2} =dx \end{gathered}$

• Com isso, temos que aquela integral sua se transforma na seguinte integral:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \int _0^4 \sqrt{u}\ \frac{du}{2} \end{gathered}$

E pela lineariedade:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{2}\cdot \int _0^4 u^{\frac{1}{2}} \ du \end{gathered} }$

Agora, vale ressaltar a propriedade de integração do monômio, dada da seguinte forma:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1\end{gathered} }$

Aplicando naquela integral, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{2}\cdot \left.\left( \frac{u^{\frac{3}{2}} }{\frac{3}{2} } \right)\right|_0^4 \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{\diagup\!\!\!2}\cdot \left.\left( \frac{\diagup\!\!\!2\sqrt{(2x+1)^{3}} }{3} \right)\right|_0^4 \end{gathered} }$

Aplicamos então por fim o teorema fundamental do cálculo.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{\sqrt{(2\cdot 4 +1)^{3}} }{3} -\frac{\sqrt{(2\cdot 0 +1)^{3}} }{3} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{\sqrt{(9)^{3}} }{3} -\frac{\sqrt{(1)^{3}} }{3} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{26 }{3}}}} \end{gathered} }$

⇒ Espero que tenha entendido, qualquer dúvida respondo nos chats.

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