Question

O que é método de Euler?

Answer 1

Suponha que queremos aproximar a solução de um problema de valor inicial:

{\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0}.}

Escolhendo um valor para {\displaystyle h} para o tamanho de cada passo e atribuindo a cada passo um ponto dentro do intervalo, temos que {\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}. Nisso, o próximo passo {\displaystyle t_{n+1}} a partir do anterior {\displaystyle t_{n}} fica definido como {\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}, então: [2]

{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).} Com isso, para um valor menor de {\displaystyle h} teremos mais passos dentro de um dado intervalo, mas que terá melhor aproximação com o valor analítico.

O valor de {\displaystyle y_{n}} é uma aproximação da solução da EDO no ponto {\displaystyle t_{n}}: {\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}. O Método de Euler é explícito, ou seja, a solução {\displaystyle y_{n+1}} é uma função explícita de {\displaystyle y_{i}} para {\displaystyle i\leq n}.

Enquanto o Método de Euler integra uma EDO de primeira ordem, qualquer EDO de ordem N pode ser representada como uma equação de primeira ordem: tendo a equação

{\displaystyle y^{(N)}(t)=f(t,y(t),y'(t),\ldots ,y^{(N-1)}(t))},