Question

O quarto termo de uma progressão aritmética vale 18. A soma dos sete primeiros termos dessa P.A. é igual a:

Answer 1

Temos uma P.A de sete termos, com termo central $\mathsf{a_{4}=18}$

Sabemos que extremos equidistantes do centro de uma P.A (com quantidade ímpar de termos) têm soma igual, isto é

$\mathsf{a_{1}+a_{7}=a_{2}+a_{6}=a_{3}+a_{5}=2a_{4}=2\cdot termo\,\,central}$

Portanto, $\mathsf{a_{1}+a_{7}=a_{4}=2\cdot18}$.

Podemos então calcular a soma dos 7 termos dessa P.A:

$\mathsf{S_{n}=\dfrac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{7}=\dfrac{(a_{1}+a_{7})\cdot7}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{7}=\dfrac{2\cdot18\cdot7}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{7}=18\cdot7}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{S_{7}=126}}}$
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Se a propriedade utilizada não for clara, posso demonstrá-la (para uma P.A de quantidade ímpar de termos)

Tendo uma P.A com n (número ímpar) termos, o termo central é o de índice

$\mathsf{c=\dfrac{n+1}{2}}$

Portanto, para k inteiro (apropriado), queremos mostrar que

$\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=a_{c}}$

pois $\mathsf{c-k}$ e $\mathsf{c+k}$ distam, ambos, k unidades de c

Vamos avaliar $\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}}$:

$\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=\big[a_{1}+(c-k-1)\cdot r\big]+\big[a_{1}+(c+k-1)\cdot r\big]}\\\\\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=a_{1}+cr-kr-r+a_{1}+cr+kr-r}\\\\\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=2a_{1}+2cr-2r}\\\\\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=2\cdot\big[a_{1}+cr-r\big]}\\\\\mathsf{\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=2\cdot\big[a_{1}+(c-1)\cdot r\big]}}\\\\\boxed{\mathsf{a_{c-k}+a_{c+k}=2\cdot a_{c}}}$

Answer 2

Resolução:

$S_{n} = (\frac{ a_{1}+ a_{n} }{2}).n \\ \\ a_{4=18} \\ \\ a_{4}= a_{1}+3r \\ \\ a_{1}=18-3r \\ \\ a_{n}= a_{1}+(n-1).r \\ \\ a_{7}=18-3r+6r \\ \\ a_{7} =18+3r \\ \\ S_{7}= (\frac{18-3r+18+3r}{2}).7 \\ \\ S_{7}= (\frac{18+18}{2}).7 \\ \\ S_{7} =126$


bons estudos: