Question

O quarto elemento de uma sequência aritmética é o 23, e o setimo elemento é o 41. Qual a soma dos primeiros 15 elementos dessa sequencia?​

Answer 1

Resposta:

705

Explicação passo-a-passo:

a4=23

a7=41

Método da adição :

a1+3r=23 .(-1)

a1+6r=41 .(+1)

___

-a1-3r=-23

a1+6r=41

____

Encontrando o valor da razão :

-3r+6r=41-23

3r= 18

r=18/3

r=6

Encontrando o valor do primeiro termo:

a1+3r=23

a1=23-3r

a1=23-3.(6)

a1=23-18

a1=5

Encontrando o valor de a15 :

an=a1+(n-1).r

a15=5+(15-1).6

a15=5+(14).6

a15=5+84

a15=89

Soma dos termo de uma PA :

sn=n.(a1+an)/2

s15=15.(5+89)/2

s15=7,5.(94)

s15=705

Answer 2

O termo genérico (enésimo termo) de uma progressão aritmética é dado por:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Onde:

$a_1$ é o primeiro termo,

$a_n$ é o enésimo termo,

$n$ é o número do termo e

$r$ é a razão da progressão.

Sendo assim, o quarto termo pode ser escrito como:

$a_4 = a_1 + (4-1) \cdot r$

$a_4 = a_1 + 3 \cdot r$

O quarto termo vale 23. Ou seja:

$23 = a_1 + 3 \cdot r$

Isolando $a_1$:

$a_1 = 23 - 3 \cdot r$

Da mesma forma, o sétimo termo pode ser escrito como:

$a_7 = a_1 + (7-1) \cdot r$

$a_7 = a_1 + 6 \cdot r$

O sétimo termo vale 41:

$41 = a_1 + 6 \cdot r$

Isolando $a_1$:

$a_1 = 41 - 6 \cdot r$

Agora, igualando as duas expressões de $a_1$:

$23 - 3 \cdot r = 41 - 6 \cdot r$

Podemos encontrar o valor da razão:

$6 \cdot r - 3 \cdot r = 41 - 23$

$3 \cdot r = 18$

$r = \dfrac{18}{3}$

$r = 6$

Sabendo a razão, podemos encontrar o 1° termo:

$a_1 = 23 - 3 \cdot r$

$a_1 = 23 - 3 \cdot 6$

$a_1 = 23 - 18$

$a_1 = 5$

Ou seja, o enésimo termo é:

$a_n = 5 + (n-1) \cdot 6$

A soma de uma progressão aritmética, até o termo n é dada por:

$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Assim, se queremos a soma dos 15 primeiros termos:

$S_{15} = \dfrac{(5 + 5 + (15-1) \cdot 6) \cdot 15}{2}$

$S_{15} = \dfrac{(10 + 14 \cdot 6) \cdot 15}{2}$

$S_{15} = \dfrac{(10 + 84) \cdot 15}{2}$

$S_{15} = \dfrac{94 \cdot 15}{2}$

$S_{15} = \dfrac{1410}{2}$

$\boxed{S_{15} = 705}$