Question

O quadro de avisos de uma escola de Ensino Médio foi dividido
em quatro partes, como mostra a figura.
No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria,
e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de
cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º, e 3° anos do Ensino Médio.
A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem
pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou
cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro.
Determine o número máximo de sugestões diferentes que po-
dem ser apresentadas pelos servidores e alunos.​

Answer 1

Resposta: O número máximo de sugestões é 180.

Explicação passo-a-passo: De acordo com o enunciado, dispomos de cinco cores para pintar o quadro e os retângulos adjacentes devem ser diferentes.

Para ser mais didático, vamos definir azul, vermelho, branco, roxo e laranja como as cores possíveis de cada um dos quadriláteros.

Logo, contando a partir da figura da esquerda, temos que esta terá 5 alternativas diferentes, isto é, todas disponíveis- afinal, tecnicamente, nenhum foi pintado "ainda". Suponhamos que o azul foi escolhido para pintá-lo. Assim, nenhum dos outros retângulos poderão ser azul, pois todos são vizinhos desse retângulo da diretoria.

Em seguida, partindo para o primeiro retângulo superior à direita, já sabemos que ele não poderá ser azul. Mas, como o retângulo inferior ao referido ainda não foi pintado, ainda temos 4 cores disponíveis: vermelho, branco, roxo e laranja. Pintaremos essa figura de vermelho.

O retângulo do meio terá, então, 3 alternativas, pois não pode ser azul nem vermelho: branco, roxo e laranja. Vamos pintar ele de branco.

Nos resta, agora, apenas um retângulo: o último, de cima para baixo, da direita. Como ele não pode ser azul e nem branco, pois estas são as cores das figuras adjacentes a ele, teremos, novamente, 3 alternativas de cor para escolhermos: vermelho, roxo e laranja.

Logo, juntando as alternativas dadas para cada retângulo, isto é, 5 para o da diretora; 4 para o primeiro superior da direita; 3 para a figura central da direita e 3 para a restante, temos, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o uso do princípio multiplicativo e, portanto, o seguinte número N de sugestões possíveis:

N = 5.4.3.3= 180 sugestões.