Question

O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m^2. os pontos m e n são pontos médios dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triângulo em destaque é, em m^2,

Answer 1

Vamos resolver usando Pitágoras.

Um quadrado tem área dada pela medida do lado ao quadrado. Se a área de ABCD é 4m², seu lado é igual a 2m.
Os pontos M e N são pontos médios dos lados DC e CB, respectivamente. O triângulo é formado por ANM.

Temos que MC e CN medem 1 e são os catetos do triângulo retângulo MCN. Então a medida de MN (hipotenusa de MCN e a base de ANM) é:
$MN = \sqrt{MC^2+CN^2} = \sqrt{2}$

Note que temos outro triângulo retângulo ANB, vamos achar a medida do segmento AN:
$AN = \sqrt{AB^2+BN^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$

Agora precisamos achar a altura de ANM. Chamando O de ponto médio entre M e N, o segmento AO é a altura (h) de ANM. Assim, temos outro triângulo retângulo AON. A altura do triângulo equivale a:
$h = \sqrt{ (\sqrt{5})^2 + (\frac{ \sqrt{2} }{2})^2 } = \sqrt{5+ \frac{1}{2} } = \frac{11}{2}$

Agora, basta achar a área de ANM:
$A = \frac{base*altura}{2} = \frac{ \sqrt{2}* \frac{11}{2} }{2} = \frac{11 \sqrt{2} }{4} m^2$