Question

o quadrado e o retângulo das figuras abaixo têm a mesma área. Qual é a medida da diagonal do quadrado?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, LuisaMel, que a resolução é simples.

i) Note que se o quadrado tem lado igual a "x" e como todos os lados do quadrado são iguais, então todos os seus lados medirão "x".
E como a área do quadrado é dada por lado vezes lado, então teremos que a área do quadrado (Aq) será esta:

Aq = x*x
Aq = x²        . (I)

ii) Note que o retângulo tem comprimento "x+10" e altura "x-8". Como a área do retângulo (Ar) é dada por comprimento vezes altura, então teremos que:

Ar = (x+10)*(x-8) ---- efetuando este produto, teremos;
Ar = x² + 2x - 80       . (II)

iii) Agora como o enunciado da questão está informando que a área do quadrado (Aq) é igual à área do retângulo (Ar), então vamos igualar as expressões (I) e (II). Fazendo isso, teremos:

x² = x² + 2x - 80 ----- passando tudo o que tem "x" para o 1º membro, ficaremos assim:

x² - x² - 2x = - 80 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-2x = - 80 --- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
2x = 80
x = 80/2
x = 40 <--- Este será o valor de "x". Ou seja, esta é a medida do lado do quadrado.

iv) Agora veja: se x = 40, então o quadrado, cujos 4 lados medem "x", então cada lado do quadrado medirá 40.
Então a sua diagonal (d), quando traçada, formará dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa será a própria diagonal (d) e os catetos serão cada um dos lados do quadrado (x=40). Assim, se aplicarmos Pitágoras, teremos (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado):

d² = 40² + 40²
d² = 1.600 + 1.600
d² = 3.200
d = ± √(3.200) ----- note que 3.200 = 2⁷.5² = 2².2².2².2¹.5² = 2².2².2².5².2. Assim, substituindo, teremos:

d = ± √(2².2².2².5².2) --- note: quem estiver ao quadrado sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

d = ± 2.2.2.5√(2) ---- como 2.2.2.5 = 40, teremos:
d = ± 40√(2) --- como a diagonal do quadrado não pode ter medida negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

d = 40√(2) u.m. <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a medida pedida da diagonal do quadrado (Observação: u.m. = unidades de medida).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.