Question

O quadrado AEFD esta inscrito no triângulo ABC, em que AB=15cm e AC=10cm. Determine a área do quadrado e as áreas dos triângulos ABC, EBF e CDF.

Answer 1

Andymathias,

O triângulo ABC é retângulo, pois como ADFE é um quadrado, o ângulo A mede 90º.
Então, podemos calcular a medida da hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras:

BC² = 10² + 15²
BC² = 325
BC = √325

BC = 18,03 

Conhecidos os três lados do triângulo, e como sabemos que o seno de um ângulo é igual à medida do cateto oposto dividido pela medida da hipotenusa, podemos obter a medida dos ângulos B e C, usando a Lei dos Senos:

sen B = 10/18,03
sen B = 0,5546
∡ B = 33,685º

sen C = 15/18,03
sen C = 0,832

∡ C = 180º - 90º - 33,685º
∡ C = 56,315º

O segmento AF é a diagonal do quadrado ADFE e lado do triângulo ABF. A medida desta diagonal então pode ser obtida, pois conhecemos os ângulo B, obtido acima, e sabemos que o ângulo BAF = 45º (pois a diagonal AF é bissetriz do ângulo A, que é reto).
Então, o ângulo AFB mede:

∡ AFB = 180º - 45º - 33,685º

∡ AFB = 101,315º

Usando novamente a Lei dos Senos, vamos obter a medida de AF:

sen B/AF = sen AFB/AB

0,5546/AF = 0,98/15
0,98AF = 0,5546 × 15
AF = 8,319 ÷ 0,98

AF = 8,488

Conhecida a diagonal do quadrado (AF), como sabemos que ela é igual ao lado do quadrado multiplicada por √2, temos:

AF = AE × √2
AE = AF/√2
AE = 8,488/√2
AE = 8,488 ÷ 1,4142

AE = 6,00 (lado do quadrado ADFE)

Agora, podemos responder às questões da pergunta:

1. Área do quadrado (Aq):

Aq = 6 cm × 6 cm = 36 cm²

2. Área do triângulo ABC (A1):

A1 = 15 cm × 10 cm ÷ 2

A1 = 75 cm²

3. Área do triângulo EBF (A2):

A2 = (15 - 6) × 6 ÷ 2

A2 = 27 cm²

4. Área do triângulo CDF (A3):

A3 = (10 - 6) × 6 ÷ 2

A3 = 12 cm²

Conferindo as áreas:

A1 = Aq + A2 + A3

75 = 36 + 27 + 12

75 = 75