Question

O proprietário de um sítio tem 1.600 metros de alambrado, com os quais deseja cercar um pasto em formato retangular localizado em um trecho reto à margem de um rio (conforme ilustração). Sabe-se que nesse caso não é necessário cercar a margem. Denote por xa largura do retângulo e por y ocomprimento do retângulo. MAT2-L2-Q20 A área máxima de cercado que este sitiante conseguirá colocar utilizando 1.600 metros de alambrado é:

Answer 1

Olá, Evelinda.

O perímetro da área cercada, descontada a margem, é de:
2x + y = 1.600 ⇒ y = 1.600 - 2x

O retângulo a ser cercado possui área de xy.
Substituindo o valor de y na expressão da área, temos:

xy = x(1.600 - 2x) = 1.600x - 2x²

Esta expressão representa uma parábola com a concavidade voltada para baixo. O vértice desta parábola é, portanto, seu ponto máximo.
A abscissa do vértice de uma parábola ax² + bx + c é dada por:

$x_{v\'ertice}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.600}{2\cdot(-2)}=400$

Para este valor de x, que maximiza a parábola resultante da área cercada, temos y = 1.600 - 2x = 1.600 - 2·400 = 1.600 - 800 = 800.

A área máxima, portanto, possível de ser cercada é de xy = 400 × 800 = 320.000 m².