Question

O projeto de uma peça que deve ser usada em uma máquina de corte é representado pela área em destaque:

[anexo]

Sabendo que a imagem é determinada por dois quadrados concêntricos, um técnico precisou determinar algumas informações sobre a peça. Defina cada uma delas.

a) A expressão que descreve a área da peça da peça e a forma fatorqda dessa expressão.

b) A área da peça, se A mede 998 mm e B mede 999 mm.

c) A medida de B, se a área destacada em verde mede 80 cm^2 e a medida de A é 8 cm.

d) A medida de A e B em números naturais, sendo que a medida da área verde é de 97 cm^2.​

Answer 1

a)

• A área (A) da peça é obtida calculando a área do quadrado de lado b e subtraindo a área do quadrado de lado a. Portanto a expressão que descreve a área da peça é:

b² − a²

• Observe que foi obtido uma diferença de dois quadrados que fatorando obtém-se o produto da soma pela diferença de dois termos. Portanto a forma fatorada dessa expressão é:

(b + a) ⋅ (b − a)

b)

• Vamos determinar a área (A) da peça, para:

a = 998 mm e

b = 999 mm

A = (b + a) (b − a)

A = (999 + 998)  (999 − 998)

A = 1997 × 1

A = 1997 mm²

c)

• Vamos determinar a medida de b, para

A = 80 cm² e

a = 8 cm

b² − a² = A

b² − 8² = 80

b² − 64 = 80

b² = 80 + 64

b² = 144

b = 12 cm

d)

• Observe que se A = (b + a) (b − a) então a área A é obtida pelo produto de dois números: (b + a) e (b − a).

A medida da área (97 cm²) é um número primo (divisível apenas por ele próprio e pela unidade), então o único par de números cujo produto seja 97 é 1 e 97. Conclui-se portanto que:

b + a = 97

b − a = 1 ①

• Vamos solucionar esse sistema de duas equações e duas incógnitas somando as equações membro a membro.

2b = 98

b = 49

• Substituindo b em ①.

b − a = 1

49 − a = 1

a = 49 − 1

a = 48

Os números naturais a e b para área verde de 97 cm² são 48 e 49.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)

A = b² - a²

A = (b + a).(b - a)

b)

A = (b + a).(b - a)

=> Para a = 998 mm e B = 999 mm:

A = (999 + 998).(999 - 998)

A = 1997.1

A = 1997 mm²

c)

A = (b + a).(b - a)

80 = (b + 8).(b - 8)

80 = b² - 8²

80 = b² - 64

b² = 80 + 64

b² = 144

b = √144

b = 12 cm

d)

A = (b - a).(b + a)

(b - a).(b + a) = 97

O número 97 é primo, a única maneira de escrever 97 como produto de dois naturais é 1.97

(b - a).(b + a) = 1.97

Podemos montar o sistema:

• b - a = 1

• b + a = 97

Somando as equações:

b + b - a + a = 1 + 97

2b = 98

b = 98/2

b = 49 cm

Substituindo na segunda equação:

b + a = 97

49 + a = 97

a = 97 - 49

a = 48 cm